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Colibri, Professeur T

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Marvinou
Posteur Débutant
Posteur Débutant
Messages : 5

Groupe d'ordre p^3 Empty Groupe d'ordre p^3

le Lun 11 Mar - 16:45
Heyhey ! o/

Nous avons récemment vu en cours d'algèbre la proposition suivante:

Soit G un groupe d'ordre p^3, p premier.

Alors soit G est cyclique, soit il est produit (semi ?) direct d'un élément d'ordre p par un élément d'ordre p².

La parenthèse, c'est parce que j'ai entendu des rumeurs comme quoi il se serait foiré et aurait oublié le semi, donc j'vous préviens par avance ><

Il n'a cependant pas démontré la proposition. J'ai essayé de la démontrer de mon côté, mais je n'ai rien trouvé de vraiment concluant. Si G est cyclique, ben ... Il est cyclique. Sinon, si il existe un élément a d'ordre p², je peux aussi trouver par théorème de Cauchy un élément d'ordre p. Notons le b. J'aurais aimé dire que, du coup, G est produit direct de (a) par (b) (les sous groupes engendrés), mais je ne vois pas comment faire.

Si il n'y a aucun élément d'ordre p², tout les éléments sont d'ordre p et ... Je vois pas quoi dire :/

Merci d'avance pour votre aide !
Curry
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296

Groupe d'ordre p^3 Empty Re: Groupe d'ordre p^3

le Lun 18 Mar - 10:09
Salut,
Désolé du retard, je n'avais pas vu le post.
En effet c'est bien un produit semi-direct. Je n'avais pas connaissance de cette propriété, et pour cause elle n'a pas l'air triviale : tu peux regarder des questions intermédiaires ici  http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/CP.pdf.
Si tu n'arrives pas à faire des questions reviens poster ici.

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Marvinou
Posteur Débutant
Posteur Débutant
Messages : 5

Groupe d'ordre p^3 Empty Re: Groupe d'ordre p^3

le Mar 19 Mar - 15:19
Hey o/

Merci beaucoup pour ton aide Very Happy Je regarderai ça quand j'ai le temps. Le sujet semble néanmoins largement faisable et même classique (en tout cas, je reconnais des arguments classiques dans l'utilisation des Sylow etc)
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