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The_Kygo
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Messages : 8

Somme de cos(x) Empty Somme de cos(x)

le Sam 24 Sep 2016 - 22:44
Bonsoir, Smile
Je dois montrer que $\sum_{k=0}^{n-1}$ $\cos (x+2k \pi /n )$ = 0 (Pour tout x réel et n entier supérieur ou égal à deux)

Je bloque complètement dans la démonstration, je vois tellement de moyens de partir mais au final aucun ne marche Rolling Eyes
J'ai bien compris ce qu'il se passait pour les entiers pairs, on va avoir une somme de cos (x) et de cos (x+$\pi$) qui vont tous s'annuler mais pour les entiers impairs je comprends pas pour l'instant...

Une petite indication ?
Curry
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296

Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Lun 26 Sep 2016 - 9:17
Salut,
Commençons si $n$ est pair : regroupes le $i$ eme terme avec le $i+\frac{n}{2}$eme terme.

Si $n$ est impair : utilisons l'exponentielle
$= \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}\text{exp}(i(x+\frac{k \pi}{2}))) = \text{Re}(\sum_{k=0}^{n-1} \text{exp}(i(x+\frac{k \pi}{2}))) = \text{Re}(e^{ix}\sum_{k=0}^{n-1}\text{exp}(i(\frac{k \pi}{2})))$
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The_Kygo
Posteur Débutant
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Messages : 8

Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Sam 1 Oct 2016 - 13:34
( Tout d'abord merci bien )
Ensuite, pardon mais comment tu peux te retrouver avec $\exp (i(x)+k\pi /2)$, le n il est passé où ? Suspect
Curry
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296

Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Lun 3 Oct 2016 - 10:17
Juste une petite erreur de réécriture :

$= \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}(\text{exp}(i(x+\frac{2k \pi}{n}))) = \text{Re}(\sum_{k=0}^{n-1} \text{exp}(i(x+\frac{2k \pi}{n}))) = \text{Re}(e^{ix}\prod_{k=0}^{n-1}\text{exp}(i(\frac{2k \pi}{n})))$

D'ailleurs autre erreur : la troisième somme était un produit. Désolé pour ces inattentions.
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