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Somme de cos(x) Empty Somme de cos(x)

le Sam 24 Sep - 22:44
Bonsoir, Smile
Je dois montrer que $\sum_{k=0}^{n-1}$ $\cos (x+2k \pi /n )$ = 0 (Pour tout x réel et n entier supérieur ou égal à deux)

Je bloque complètement dans la démonstration, je vois tellement de moyens de partir mais au final aucun ne marche Rolling Eyes
J'ai bien compris ce qu'il se passait pour les entiers pairs, on va avoir une somme de cos (x) et de cos (x+$\pi$) qui vont tous s'annuler mais pour les entiers impairs je comprends pas pour l'instant...

Une petite indication ?
Curry
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Messages : 296
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Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Lun 26 Sep - 9:17
Salut,
Commençons si $n$ est pair : regroupes le $i$ eme terme avec le $i+\frac{n}{2}$eme terme.

Si $n$ est impair : utilisons l'exponentielle
$= \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}\text{exp}(i(x+\frac{k \pi}{2}))) = \text{Re}(\sum_{k=0}^{n-1} \text{exp}(i(x+\frac{k \pi}{2}))) = \text{Re}(e^{ix}\sum_{k=0}^{n-1}\text{exp}(i(\frac{k \pi}{2})))$
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Messages : 8
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Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Sam 1 Oct - 13:34
( Tout d'abord merci bien )
Ensuite, pardon mais comment tu peux te retrouver avec $\exp (i(x)+k\pi /2)$, le n il est passé où ? Suspect
Curry
Professeur de Mathématiques
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Messages : 296
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Somme de cos(x) Empty Re: Somme de cos(x)

le Lun 3 Oct - 10:17
Juste une petite erreur de réécriture :

$= \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}(\text{exp}(i(x+\frac{2k \pi}{n}))) = \text{Re}(\sum_{k=0}^{n-1} \text{exp}(i(x+\frac{2k \pi}{n}))) = \text{Re}(e^{ix}\prod_{k=0}^{n-1}\text{exp}(i(\frac{2k \pi}{n})))$

D'ailleurs autre erreur : la troisième somme était un produit. Désolé pour ces inattentions.
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