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Azertybob
Azertybob
Posteur Motivé
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Messages : 43

Spé maths PGCD Empty Spé maths PGCD

le Mer 6 Jan - 22:02
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bonjour je galère un peu sur un exo..

Soit $ a=n²+1$ et $ b=n(n²-1)$ pour n entier naturel supérieur ou égal à 1.
Soit $c=PGCD(a;b)$

1) Montrer que a et n sont premiers entre eux

--> je l'ai fait avec le théorème de bézout

2) En déduire que $c=PGCD(a;n²-1)$

C'est ici que je galère.. Je n'arrive pas à voir ce que la question 1° nous apporte pour montrer cela

Merci d'avance
Curry
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296

Spé maths PGCD Empty Re: Spé maths PGCD

le Mer 6 Jan - 22:26
Réputation du message : 100% (2 votes)
L'idée c'est que $c$ est un diviseur de $a$ ET $b$. Mais comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, alors $c$ et $n$ sont premiers entre eux. Donc comme $c$ divise $b = n(n^2-1)$ tu as forcement que $c$ divise $n^2-1$.
Et donc tu peux remplacer $b$ par $n^2-1$.

Mon explication est floue ~ Ce n'est que l'idée
Je te laisse l’écrire plus proprement.
Azertybob
Azertybob
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 43

Spé maths PGCD Empty Re: Spé maths PGCD

le Mer 6 Jan - 22:36
Réputation du message : 100% (1 vote)
Merci Curry! Very Happy
J'ai compris, ce que je n'avais pas saisi, c'est que si $a$ et $n$ étaient premiers entre eux, alors $c$ et $n l'étaient aussi alors que c'est assez évident... Embarassed

Après, comme $c|b$ c'est à dire $c|n(n²-1)$ et comme $c$ et $n$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, $c|n²-1$
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