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Professeur T

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Gad
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Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 18:56
Hey ! ^^ donc voilà je bloque sur une petite démonstration par récurrence sur un exo :
http://puu.sh/m8gey/4c3a0db4f1.jpg
Désolé pour la qualité de l'image, dites moi si vous arrivez pas à lire quoi que ce soit
Donc je sais comment on démontre par récurrence, mais ici je n'arrive pas à faire l'hérédité, c'est à dire montrer que la propriété est vraie pour l'entier n+1, en supposant Un+1>Un vrai.
Du coup pour l'hérédité, j'ai essayé de prouver que Un+2>Un+1 est vrai. Mais je tombe sur un truc très bizarre.. Est ce que c'est bien ça que je dois faire ? Mon raisonnement est correct ? car mon mon calcule ne mène à rien du tout


merci!
Professeur T
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 19:03
Salut Gad, comme je disais à Dérivation, pour le moment je suis dans un endroit où la connexion est très mauvaise^^ je pourrai vous répondre à partir de demain soir :-) mais hesitez pas à vous entraider !
Dérivation
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 19:43
J'avoue que ça me laisse perplexe aussi...Après avoir jeté quelques calculs au brouillon, je me dis qu'il faut peut-être utiliser le fait que exponentielle de x est toujours positif ? Mais je ne vois pas vraiment non plus, désolé. ^^
Gad
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 20:33
Aucun problème Prof ^^
Yep dérivation, exp x est toujours positif, mais je vois pas trop comment me servir de ça x)
Dérivation
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 21:23
Hum...T'as essayé de comparer U(n+1) et U(n+2) ?
En calculant un peu, je trouve :
U(n+1) = 3-(1/e^Un)
U(n+2) = 3-(1/e^(3-(1/e^Un)))

Pour montrer que U(n+2) > U(n+1), il faudrait donc montrer que 3-(1/e^Un) < Un. Euh...Attends, du coup je suis perdu aussi là. Neutral
Gad
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 21:39
Ah bah je suis content que tu sois bloqué sur ça, parce que j'ai trouvé exactement la même chose !
J'essaye aussi de montrer que 3-(1/e^Un) < Un, mais je vois pas du tout comment me débrouiller avec ça, du coup je me suis dis que j'ai fait une erreur quelque part, ou que j'ai pas suivi la bonne méthode...
Je te remercie d'avoir cherché aussi Very Happy
Dérivation
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 21:42
Et surtout, ça voudrait dire que U(n+1) < Un puisque 3-(1/e^Un) = U(n+1). Ce qui est l'inverse de ce qu'on cherche à prouver. Du coup on doit être sur une fausse piste ici.

De rien, j'avoue que ça me titille depuis tout à l'heure, j'aimerais bien savoir comment faire aussi. ^^"
Gad
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Re: Démonstration par récurrence

le Ven 25 Déc 2015 - 21:56
J'avais pas refait l'équivalence 3-(1/e^Un) = U(n+1). Donc oui en effet on tombe sur un truc contradictoire.
Je sais pas si c'est une fausse piste, vu qu'on trouve tout pile le résultat contraire, y a ptet un tout petit truc qu'on a oublié, j'sais pas trop sur le coup :/
Merci beaucoup encore une fois ^^
Professeur T
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Re: Démonstration par récurrence

le Dim 27 Déc 2015 - 13:57
Salut Smile J'ai pas trop regardé ce que vous avez fait mais en partant comme ça, ça marche :

$u_{n+1}\geq u_n$ donc
$-u_{n+1}\leq -u_n$ donc
$e^{-u_{n+1}}\leq e^{-u_n}$
...

Je te (vous) laisse faire la suite ? Smile
Gad
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Re: Démonstration par récurrence

le Dim 27 Déc 2015 - 15:15
hey !
wow... c'était aussi simple que ça ?
donc 3-exp(-Un+1)>3-exp(-Un),
d'où Un+2>Un+1

en gros ce qu'on avait fait nous, c'était d'exprimer Un+2 (à partir de Un+1), donc on avait obtenu "Un+2 = 3 - exp (-Un+1)", et ici on a remplacé Un+1 par son expression. Puis on a juste comparer Un+2 et Un+1, sauf qu'on tombait sur le résultat contraire...

J'aurais du pensé à faire comme t'as fait Sad

Merci beaucoup ^^

PS : désolé Dérivation, ça m'aurait fait plaisir de t'aider en retour, mais je n'ai vu ni Gauss, ni Bézut, et je savais pas comment résoudre ton problème même avoir m'être renseigné Mad

Professeur T
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Re: Démonstration par récurrence

le Dim 27 Déc 2015 - 15:18
Oui c'était aussi simple que ça, comme tu dis^^ Mais des fois faut pas chercher à "remplacer" directement... même si c'est souvent comme ça qu'on fait Smile
Gad
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Re: Démonstration par récurrence

le Dim 27 Déc 2015 - 15:29
En effet ! je tâcherai d'y penser maintenant^^
Dérivation
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Re: Démonstration par récurrence

le Dim 27 Déc 2015 - 16:53
...En fait c'était simple oui. C'est juste pas ce qu'on a l'habitude de faire je crois. ^^ C'est le genre de question après laquelle on se sent un peu bête quand on connaît la réponse. :p
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