Accueil du forum
Pour afficher la ChatBox et profiter de l'aide gratuite sur le forum, inscrivez-vous puis connectez-vous !

Connexion
Aimez notre page Facebook !
Statistiques
Nous avons 1244 membres enregistrésL'utilisateur enregistré le plus récent est Alisonlondin Nos membres ont posté un total de 6768 messagesdans 811 sujets
Qui est en ligne ?
Il y a en tout 18 utilisateurs en ligne :: 1 Enregistré, 0 Invisible et 17 Invités :: 1 Moteur de recherche

Professeur T

Voir toute la liste

Les posteurs les plus actifs du mois
1 Message - 33%
1 Message - 33%
1 Message - 33%
Les posteurs les plus actifs de la semaine
1 Message - 100%
Partagez
Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 11:06
Bonjour ,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à resoudre:

n$^{n+1}$> n+1$^{n}$ avec n$\geq$3

je bloque au niveau de l'hérédité ,
quelqu'un pourrait il m'aider ?
Merci d'avance SVP
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 14:31
Réputation du message : 100% (2 votes)
Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$> (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 15:02
j'ai du mal à suivre avec sa :
(n+1)(n+1)$^{n+1}$=(n+1)($\frac{n+1}{n}$)$^{n+1}$n$^{n+1}$
Professeur T
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 2102
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 15:13
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut, tu as :

$$(n+1)(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^{n+1}\frac{n^{n+1}}{n^{n+1}}$$

Il a juste multiplié par $1$, puis réarrangé.
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 15:17
$\frac{n^{2}+2n+1}{n}$>n+2 , on sait que n$^{2}$+2n+1=(n+1)$^{2}$ or d'apres la recurrence c'est > à n$^{n+1}$ d'ou $\frac{(n+1)^{2}}{n}$>n+1
c'est bien ça ? je me demande si je suis bien la logique
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 15:28
Si tu montres $\frac{n^2 +2n+1}{n} > n+2$ tu auras $(\frac{n^2 +2n+1}{n})^{n+1} > (n+2)^{n+1}$, et donc tu as gagné.
PouletAtomique
Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Messages : 361
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 15:58
Réputation du message : 100% (1 vote)
T'as juste à multiplier par n des 2 côtés maintenant et voilà c'est réglé :p
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:13
@dllkevin a écrit:$\frac{n^{2}+2n+1}{n}$>n+2 , on sait que n$^{2}$+2n+1=(n+1)$^{2}$ or d'apres la recurrence c'est > à n$^{n+1}$ d'ou $\frac{(n+1)^{2}}{n}$>n+1
c'est bien ça ? je me demande si je suis bien la logique
docn ce n'est pas correcte , ma demonstration ?
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:18
@Curry a écrit:Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$> (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.
vous allez peut être me trouver un peu ennuyeux mais je ne comprend pas ce que tu as voulu dire par la :
$ > (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici) qu'est ce qui devrait se trouver du côté gauche?
Professeur T
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 2102
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:19
En fait, il s'est trompé, il fallait lire $(n+1)^{n}$ à la place de $(n+1)^2$ !
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:23
@Curry a écrit:Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ x > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ x > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$x > (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.
oui je vois , mais qu'est ce qui devrait se trouver ou j'ai mis les x ?
Professeur T
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 2102
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:24
C'est juste le $(n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$ d'au-dessus
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:28
je pensais qu'on se servait de l’inégalité départ , pas d'une seul partie seulement
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:32
Oui effectivement petite erreur de ma part.
Les > sans rien devant c'est pour éviter de tout écrire sur la même ligne :
$x>y$
$> z$
signifie $x>y>z$.
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 16:43
@Curry a écrit:Si tu montres $\frac{n^2 +2n+1}{n} > n+2$ tu auras $(\frac{n^2 +2n+1}{n})^{n+1} > (n+2)^{n+1}$, et donc tu as gagné.
mais vous avez ignoré ma demonstration , ou bien ce n'est pas correcte ?
Curry
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 296
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mar 10 Nov 2015 - 19:44
Désolé encore une bourde, décidément :
$x > y$
$ > z$
signifie
$x > y$
$x > z$

Quant à ta démonstration je ne vois pas comment tu utilises l'hypothèse de récurrence ! Tu n'as pas besoin de l'utiliser.
Pour montrer que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n} > n+2$ tu as juste à mettre les n du même coté, et mettre au même dénominateur et c'est réglé.
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 46
Voir le profil de l'utilisateur

demontrer par recurrence une inégalité Empty Re: demontrer par recurrence une inégalité

le Mer 11 Nov 2015 - 14:37
Ah je vois Merci beaucoup
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum