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limoi

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Prouver qu'une suite converge

le Sam 31 Oct - 1:32
Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice autour de la suite suivante :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :
- $a_1\geq 0$
- $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$ $(*)$

Une partie de l'exercice me demande de montrer que cette suite converge. J'ai compris qu'il fallait montrer que l'écart entre $a_n$ et $a_{n+1}$ devenait de plus en plus petit.

On a également droit à deux indices :

1. Prouver que $|a_{n+1}-a_n|\leq\frac{1}{2}|a_n-a_{n-1}|$
2. $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ $(**)$

Pour commencer, j'avais développé $|a_{n+2}-a_{n+1}|$ et $|a_{n+1}-a_n|$ selon ce que l'on sait de $(*)$, et donc j'avais écrit les deux expressions en fonction de $a_n$. Ensuite, j'avais utilisé $(**)$, mais je n'arrive toujours pas à voir le lien entre les deux qui me permettrait de dire que l'un est plus grand que l'autre.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Je galère depuis 1h30 sur ce problème, et j'ai l'impression de n'avoir pas du tout avancé...
PouletAtomique
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Sam 31 Oct - 16:21
Pitié essayes de ré écrire en LATEX
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Sam 31 Oct - 16:33
Ouais, je vais déjà modifier ton message pour que ça soit lisible... Derien Very Happy

Edit : voilà, dis moi si c'est ok.
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Dim 1 Nov - 1:10
Oui c'est bien ça, merci. (Désolé, je n'utilise pas Latex).
Curry
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Lun 2 Nov - 13:45
Salut,
L'exercice est résolu non ? Si tu as montré que $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac12 |a_n - a_{n-1}|$ alors tu as $$ |a_{n+1} - a_n| \leq \frac{1}{2^n} |a_1 - a_0|$$

Et donc la suite converge.
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Mar 3 Nov - 21:50
Non justement, ça c'est ce que je dois prouver; mais je ne vois pas comment y parvenir.
Curry
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Mar 3 Nov - 23:03
Quelle définition as tu de suite convergente ?
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Mer 4 Nov - 17:36
Une suite (a_n) converge vers a si pour tout epsilon >0, il existe un N naturel tel que la valeur absolue de a_n - a < epsilon pour tout n > N.
Curry
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Re: Prouver qu'une suite converge

le Mer 4 Nov - 18:45
N'as tu pas vu les suites de Cauchy ? Cette suite converge vers $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Pour montrer que ça converge vers $\varphi$, on le fait en deux étapes :
1. On montre que si la suite converge, alors c'est forcément vers $\varphi$
2. On montre que la suite converge (ici on montre qu'elle est de Cauchy).
Je ne vois pas comment montrer ça autrement.
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