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Fonction Injective Empty Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 12:24
Salut

J'ai pas trop compris ces fonctions : injectives , surjectives et bijectives

Si je comprend bien , injective = 1 antécédent
surjective = plusieurs antécédents
et bijective les deux en même temps ??

Mais comment peut-on savoir qu'une fonction peut avoir 0 , 1 ou plusieurs antécédents ?

Merci d'avance.
Professeur T
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 12:31
Salut Kizy et bienvenue Smile 

Alors, attention, ce n'est pas exactement ça.

Une fonction $f$ est dite injective si pour tout élément $y$ de l'ensemble d'arrivée, il existe au plus un élément $x$ de l'ensemble de départ tel que $f(x)=y$. Cela n'empêche pas que certains éléments aient aucun antécédent.

Une fonction $f$ est dite surjective si pour tout élément $y$ de l'ensemble d'arrivée, il existe au moins un élément $x$ de l'ensemble de départ tel que $f(x)=y$.

Une fonction $f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Par exemple, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est surjective mais n'est pas injective (et donc n'est pas bijective).
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 12:45
Merci de votre réponse,

Justement comment peut-on savoir si un ensemble d'arrivé possède au plus ou au moins un élément?

Si j'ai bien compris au plus c'est entre 0 et 1 et au moins + de 1 ?
Professeur T
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 12:56
Et bien par exemple, pour la fonction carrée, $4$ a deux antécédents qui sont $-2$ et $2$.
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 13:32
OK merci, mais lorsqu'une fonction est compliquée et qu'on ne peut pas savoir comment elle est de tête , comment fait-on ?

Peux-tu me donner un exemple de fonction bijective ?
Professeur T
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 13:40
Je pense que tu viens de commencer ce chapitre, non ? Tu vas voir plusieurs techniques pour le montrer, mais pour le moment tu devrais te concentrer sur une bonne compréhension des définitions.

Par exemple, les fonctions affines de $\mathbb{R}$ dans lui-même sont bijectives.
alm
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 14:22
Réputation du message : 100% (2 votes)
$\bullet$ Pour les applications $f$ réelles à variable réelle, l'étude des variations de $f$ peut informer si $f$  est  injective, surjective, bijective .
$\bullet$ Exemple: $f:\mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto \cos(x)$   n'est ni injective ni surjective. Elle devient surjective si on prend pour arrivée $[-1,1]$ ou une partie de cet intervalle. Elle devient injective si on prends pour départ $[0,\pi]$. Si on prends pour départ $[0,\pi]$   et pour arrivée  $[-1,1]$  elle devient  bijective.
$\bullet$  une application constante de $E$  vers  $F$  n'est pas injective si $E$ a plus d'un élément.
$\bullet$  Si  $f:E \to F$  est  une  application, l'application $\overline{f}: E \to f(E), x \mapsto \overline{f}(x)=f(x)$  est  surjective.
On peut démontrer qu'il existe aux moins une partie $E'$ de $E$  tel que $f(E')=f(E)$ et $f' :E' \to F, x \mapsto f'(x)=f(x)$  est  injective. Il en découle que $\tilde{f}:E' \to f(E),x \mapsto \tilde{f}(x)=f(x)$  est   bijective.
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 14:31
C'est exact je viens de débuter le chapitre Smile
Professeur T
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Fonction Injective Empty Re: Fonction Injective

le Mer 9 Sep - 18:38
Tu peux alors passer du temps à étudier le message de Alm Wink
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