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Somme directe

le Mar 5 Mai 2015 - 14:08
Hello Smile

Voilà j'ai un petit soucis au niveau de la compréhension, je n'arrives pas trop à comprendre comment prouver que deux sous espaces vectoriels sont en somme directe.

Merci d'avance pour vos réponses
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Re: Somme directe

le Mar 5 Mai 2015 - 15:41
Hello,
Tu as un exo sur lequel tu es bloqué par exemple ?
Le plus simple sera souvent de montrer que leur intersection est zéro Smile
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Re: Somme directe

le Mar 5 Mai 2015 - 16:57
Yes

je sais qu'il faut deux conditions pour prouver que deux sous espaces sont en sommes direct

leur intersection est 0

et la somme des deux sous espaces = à l'ensemble tout entier
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Re: Somme directe

le Mar 5 Mai 2015 - 16:59
Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E vérifiant f
3 = Id.
Montrer
ker(f − Id) ⊕ Im(f − Id) = E
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Re: Somme directe

le Mar 5 Mai 2015 - 17:36
Salut S4ph1r,
Pour l'intersection réduite à zéro je te fais confiance tu as l'air de savoir faire.
Pour la somme, il y a en gros deux possibilités :
- soit à la main : tu prends un élément de E et tu essaies de l'écrire comme somme de deux vecteurs u1 et u2, l'un dans ker(f-id) et l'autre dans Im(f-id)
- soit grâce à un théorème de ton cours qui décompose pour toi l'espace en somme directe de sous-espaces, sous certaines conditions.
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Re: Somme directe

le Ven 15 Mai 2015 - 20:10
Bonjour

C'était pour savoir si pour démontrer que l'intersection entre ker f et Im f était réduit à 0,
je pouvais prendre un élément de Im f et montrer qu'il n'est pas dans ker f ou inversement.

Est que cela est suffisant pour démonter l'intersection.

Je précise que f est un endomorphisme.

Merci
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 13:30
Bonjour,

Tu dois bien entendu préciser que l'élément que tu prends est non nul.
Si tu fais ce que tu as dit, tu vas conclure que "Ker(f) n'est pas inclus dans Im(f) et que Im(f) n'est pas inclus dans Ker(f)".
Tu conçois que ce n'est pas la même chose que "l'intersection est l'élément nul".
Je te conseille de supposer qu'un élément est dans l'intersection, et d'arriver à conclure qu'il est forcément nul.
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 13:36
Dans la correction d'un exercice, il montre qu'un élément de l'image n'appartient pas au noyau.

De plus ils disent que im f est de dimension 1 et ker f est un hyperplan de R3 donc kerf est de dimension 2.

Avec ces deux affirmations ils en concluent que l'intersection de ker f et imf était réduit à 0.

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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 13:44
Ce n'est pas ce que tu m'as dit au départ ^^
Tu as rajouté la notion de dimension qui est importante ici.
Imagine donc la nature géométrique de Im(f) et de Ker(f).
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 13:47
Im f est une droite alors que ker f est un plan
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 13:51
Donc dans ce cas là si un élément non nul de Im(f) n'est pas dans Ker(f), alors la droite n'est pas incluse dans le plan. Donc c'est bon tu as montré que l'intersection est nulle.
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 14:01
C'est cela que j'ai pas compris

Là nous avons prouvé qu'un et je précise un seul élément n'est pas dans ker f
Mais il pourrait y avoir d'autre élément de im f qui soit aussi dans ker f
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Re: Somme directe

le Sam 16 Mai 2015 - 15:00
Im(f) est une droite. Donc cet espace est engendré par un vecteur v. C'est à dire que si un élément appartient à Im(f), alors il s'écrit de la forme k*v où k est un réel. Tu comprends bien que si v n'appartient pas à Ker(f), k*v n'appartient pas à Ker(f). Je te rappelle que Ker(f) est un sous-espace vectoriel.
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