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La primitive de 1/x est ln(x). Mais l'aire sous la courbe 1/x ne peut pas être ln(x), si ?

le Jeu 31 Aoû - 20:58
Bonjour je demande votre aide car je ne parviens pas à résoudre des réflexions que j'ai en tête (à propos de l'aire sous la courbe 1/x) :

1) Avant tout pouvez-vous me confirmer que l'intégrale de A à B de la fonction inverse renvoie bien une valeur infinie pour A tendant vers 0 positif et B>A.


2) Sachant que l'aire sous la courbe de la fonction inverse est toujours positive pour x>0, comment expliqué que ln(x) puisse être sa primitive ?
Car si je ne me trompe pas, la primitive équivaut à l'intégrale d'une fonction or sachant que ses premières valeurs jusqu'à 1 ne retournent pas une valeur positive comment accepter que celle-ci est bien la primitive de 1/x ?

Merci à vous !
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Re: La primitive de 1/x est ln(x). Mais l'aire sous la courbe 1/x ne peut pas être ln(x), si ?

le Jeu 31 Aoû - 21:38
Salut,
Tout simplement une erreur de signe :
$$ \int \limits_A^B \frac1x = ln(B) - ln(A)$$

Quand $A$ tend vers 0 tu as bien que l'aire tend vers $+ \infty$
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Re: La primitive de 1/x est ln(x). Mais l'aire sous la courbe 1/x ne peut pas être ln(x), si ?

le Jeu 31 Aoû - 23:13
Ca s'élucide davantage pour moi, merci.
Mais permettez-moi une autre question, prenons un exemple :

Prenons f(x)=x, F(x)=(x^2)/2
L'aire sous la courbe de la fonction x se calcule aisément puisque c'est un triangle rectangle, soit ici 1/2*x*f(x) soit (x^2)/2 (c'est bien la même valeur que celle de la primitive de f(x))

Pensant donc que F(x) renvoie la valeur de l'aire de 0 à x de f(x), je pensais que toujours, je pourrai par lecture graphique de la primitive d'une fonction, interpréter son résultat comme en étant l'aire sous la courbe de f(x).

Seulement quand je lis la valeur que retourne ln(x), elle n'est pas celle de l'aire comprise sous la courbe 1/x...
Il y a quelque chose qui cloche mais je ne comprends pas quoi...
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Re: La primitive de 1/x est ln(x). Mais l'aire sous la courbe 1/x ne peut pas être ln(x), si ?

le Ven 1 Sep - 11:22
Salut,
C'est en fait un cas assez particulier :
Si $F$ est une primitive de $f$ alors on a bien
$$\int \limits_0^A f(x) = F(A) - F(0)$$

Ça c'est toujours vrai.
Maintenant pour $f(x) = x$ on retombe bien sur $F(A)$ car $F(0)=0$, mais par exemple pour $f(x)=\frac1x$ là ça pose soucis puisque $F(0)$ n'est pas égal à $0$ (c'est encore pire $F$ n'est pas définie en $0$ ...).

Ça devrait t'éclairer suffisamment je pense.
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