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Aide exercice 1ère S

le Dim 25 Sep - 23:00
Bonjours j'aurais besoin d'une aide au sujet d'un exercice qui traite du 4eme degrés de part son titre "Une équation de degré 4 particulière" n'aillant fait que le second degré je comprend pas très bien comment montrer une équivalence ou résoudre ces fonction. Voici mes questions:
On veut résoudre dans R l'équation (E)
x^4+x^3+x+1=0
On pose X=x+1/x
1.montrer que l'équation (E) est l'équivalente à l'équation (E'):X^2+X-2=0
Résoudre (E') puis résoudre l'équation (E).

Voilà tout je vous remercie d'avance mais ne vous demande absolument pas de me donner les réponses mais de bonnes indications.
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Re: Aide exercice 1ère S

le Lun 26 Sep - 8:32
Salut,
Tu as $X = x +\frac1x$. Tu développes $(E')$ et tu devrais tomber sur $(E)$.
Ensuite tu résous $(E')$ en fonction de $X$. Et finalement tu trouves la valeur de $x$ qui fonctionne.
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Aide exercice 1ère S

le Lun 26 Sep - 12:09
Merci beaucoup j'ai donc essayé de faire ce que tu m'as indiqué. j'ai donc la réponse qui est (E')=(x^4+x^3+x+1)/x²=0 est équivalente à l'équation (E).J'ai du effectuer ce calcul sur géogebra car je ne comprend pas comment on peut trouver des x^4 ou des x^3 avec une identité remarquable dans (x+1/x)² qui doit faire (x^4+2x^3+x+x)/x². Ensuite j'ai résolu l'équation (E') et (E) avec géogebra ou j'ai obtenu x={-1} pourrais tu ici m'expliquer ici aussi car j'ai l'habitude faire avec delta=b²-4ac mais dans ce cas là je ne repère pas a.
Pourrais tu vérifier ma dernière question qui est :
Par un raisonnement similaire résoudre l'équation
(E)= x^4-x^3+3x²-x+1=0
On montrera que cette équation est équivalente à l'équation (E') : X² - X +1=0
J'ai donc résolu avec géogébra les deux équations et aucunes n'a de solution(s). je pourrais imaginer que delta était plus petit que 0.
Je sollicite encore ton aide merci d'avance.
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Re: Aide exercice 1ère S

le Lun 26 Sep - 14:35
C'est assez flou ce que tu as fait.

Tu as bien $(E') : X^2 + x-2 = 0$, donc en développant : $(E') : \frac{x^4+x^3+x+1}{x^2}=0$. Pour que ça soit nul il faut que le numérateur soit nul, donc tu retombes bien sur $(E)$. Remarque au passage que diviser par $x$ ne pose pas de soucis puisque $x=0$ n'est pas solution de $(E)$.

Tu as donc une équation $X^2+X-2$ à résoudre. Tu calcules le discriminant qui vaut $1^2-(-2)\times4 =9$. Les racines sont donc $X_1 = \frac{-1-3}{2} = -2$ et $X_2 = \frac{-1+3}{2}=1$.

Maintenant tu as $X=x +\frac1x$. Toi tu connais les valeurs de $X_1$ et $X_2$ et tu cherches les valeurs de $x$. Tu dois donc résoudre les équations :
$x + \frac1x = -2$ et $x +\frac1x = 1$.

A toi de continuer.

Et tu n'as nullement besoin de géogébra ici.
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Re: Aide exercice 1ère S

le Mar 27 Sep - 23:28
J'ai donc continué et trouvé pour x la valeur de -1 seulement car le x+1/x=1 n'avait pas de solution. J'ai donc appliqué mon -1 sur les 2 équations et je trouve E' = 7 et E = -1 je suis sur m'être tromper quelque part peut être au niveau de x+1/x=1 je n'arrive pas à voir mon erreur.
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Re: Aide exercice 1ère S

le Mer 28 Sep - 8:36
$x+\frac1x = -2 \Leftrightarrow x^2 + 1 = -2x \Leftrightarrow x^2+2x+1 = 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x=-1$.
Et $-1$ est bien solution de $(E)$.
Fais de même pour $x+\frac1x=1$.

Edit : Dans ma première équivalence, c'est vrai parce que je sais que $x\neq 0$ et donc multiplier par $x$ ne change rien.
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Re: Aide exercice 1ère S

le Mer 28 Sep - 23:21
Bonjours,
Merci beaucoup, j'ai fait ce que tu m'as indiqué, delta est égal à -3 donc je comprend pourquoi maintenant x+1/x= 1 n'a pas de solution. Mais je vois pas comment utiliser le x=-1 et démontrer une équivalence car sur une expression cela donne 1 et dans l'autre 5. Pourrais tu me l'expliquer
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Re: Aide exercice 1ère S

le Jeu 29 Sep - 10:14
Qu'est ce qui donne 1 ou 5 ? Sois plus précis, je ne comprends pas.
Je ne vois pas ce qu'il te bloque.

Tu as $x^4+x^3+x+1 = 0 \Leftrightarrow  X^2 - X +1=0$ avec $X = x + \frac1x$. Donc en trouvant les racines de l'équation à droite, tu en déduis les valeurs que doit avoir $x+\frac1x$ pour annuler l'équation de droite. Ensuite connaissant ces valeurs de $x+\frac1x$ tu essayes d'en déduire la valeur de $x$, dans certains cas c'est possible, dans d'autres non.
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