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PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 15:02
Bonjour,

Voici un énoncé pour lequel j'ai besoin d'aide : "Démontrer que pour tout entier naturel n, 7 et n^2+1 sont premiers entre eux".

Je comprends que leur PGCD doit être égal à 1(Par exemple si n=2 soit n^2+1=5 et PGCD(7;5)=1)

Mais comment le démontrer ???

Merci d'avance !

Audrey
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:14
Salut !
Connais-tu le principe de récurrence ?
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:19
non...
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:26
Je viens d'aller voir sur google mais je pense que je n'ai pas tout pigé...
La propriété doit est satisfaite avec l'entier 0, dans ce cas PGCD (7;0) devrait être égal à 1 pour qu'elle le soit ? et donc ici ce n'est pas le cas...
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:29
oups désolée, c'est n^2+1 donc 0^2+1... Aussi propriété ok avec 0 et donc avec l'autre cad n+1 ?

Pour le CRPE, comment le rédiger ?
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:32
Salut Ay31 Smile

Si tu prépares le CRPE, le principe de récurrence n'est pas au programme. Tu veux montrer que pour tout entier naturel $n$, $7$ et $n^2+1$ sont premiers entre eux, donc que leur PGCD vaut $1$. Or, $7$ est un nombre premier donc il n'est divisible que par $7$ et par $1$. Il suffit donc que tu montres que pour tout $n$, $n^2+1$ n'est pas divisible par $7$. Ainsi, le seul diviseur commun de $7$ et $n^2+1$ sera $1$, et tu pourras conclure qu'ils sont premiers entre eux. Voilà une première étape de raisonnement Smile
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 18:39
Par contre, je ne sais pas où tu as trouvé cet exo, mais il me paraît vraiment compliqué par rapport à ce qui est demandé au CRPE.
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 19:01
Au temps pour moi je n'avais pas vu que c'était dans la partie préparation au CRPE. Et j'avoue que c'est une question assez difficile pour ce concours
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 19:35
Merci beaucoup ! Very Happy
J'ai trouvé l'exercice sur un groupe facebook.

Bonne soirée.
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 19:45
Tu as réussi la suite du raisonnement ? Smile
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 20:16
je pensais m'en sortir avec les critères de divisibilité mais je galère... No
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 20:21
Oui c'est pour ça qu'on disait que c'était un peu compliqué bounce

En fait, tu dois regarder tous les restes possibles de $n$ par la division euclidienne par $7$, soit : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ puis montrer que pour chaque cas, $n^2+1$ n'a pas $0$ comme reste et donc qu'il n'est pas divisible par $7$ (comme ça, tu auras étudié tous les cas possibles).

Je te fais le premier cas : si $n$ a pour reste $0$ par la DE (division euclidienne) par $7$, alors $n^2$ a pour reste $0$. Donc $n^2+1$ a pour reste $1$ par la DE par $7$. Donc $n^2+1$ n'est pas divisible par $7$.

Je sais pas si tu m'as suivi (si oui, tu peux faire les autres cas), mais c'est assez haut niveau pour le CRPE, je répète !
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 20:58
Et oui puisque si tu montres pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 que ta propriété est vraie, alors tu la montres pour tout entier n ! Pourquoi ? Parce que regarder pour n = 7 revient à vérifier la même chose que pour n= 0. si n = 8 alors cela revient à la même chose que pour n = 1 etc.
Ce sont des petites manipulations sur les critères de divisibilité qui s'appellent des congruences en Terminale S spé Maths.
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 21:04
Si je comprends bien, je pourrais poursuivre :
Si n a pour reste 1 par la DE par 7, alors n2+1 a pour reste 2
Si n a pour reste 2 par la DE par 7, alors n2+1 a pour reste 5
...
?
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Re: PGCD démonstration

le Ven 19 Aoû - 21:29
Exactement, et il suffit que tu t'arrêtes à $6$ Smile
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Re: PGCD démonstration

le Dim 21 Aoû - 12:56
Merci Very Happy
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Re: PGCD démonstration

le Dim 21 Aoû - 13:04
Avec plaisir Smile
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