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Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 10:52
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Salut à tous, un défi pour tout le monde.

Trouver tous les nombres $abc$ vérifiant $abc = ab + bc + ca$.
Ici $abc$ est l'écriture d'un nombre à trois chiffres, par exemple $123$ ne fonctionne pas puisque $123 \neq 12 + 23 + 31$.

Vous avez droit à tout : au raisonnement mathématiques rigoureux, au listing de tous les nombres, à la démonstration non écrite en maths, vous pouvez même coder un programme vérifiant tous les nombres à trois chiffres.
Bonne chance Smile
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 12:37
ça joue autour de 9 ce truc j'ai approché au plus près à un différentiel de + 2, il existe une solution qui amène au nombre de départ ? Idea
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 13:57
Salut, de mémoire il y a deux ou trois nombres qui marchent.
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 13:59
J'ai fait un algorithme sur AlgoBox (comme ça je m'exerce pour les oraux d'ailleurs...). 

Par contre, j'ai dû foirer quelque chose car je trouve seulement $0$ comme solution^^ Je m'y repencherai dès que j'aurai du temps Smile
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 14:00
Je suis sûr que @Lavoisier nous programme ça en une minute Laughing  (il m'a fallu un peu moins de 10 minutes... mais avec erreur)
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 14:41
Je pense l'avoir (à comparer avec la solution rigoureuse) :

Spoiler:

Déjà, on peut remarquer qu'on peut se limiter aux nombres $abc$ inférieurs à $297$ car $99+99+99=297$.
Voilà un code AlgoBox qui teste pour les nombres de $0$ à $297$ :
Code:
1   VARIABLES
2     i EST_DU_TYPE NOMBRE
3     a EST_DU_TYPE NOMBRE
4     b EST_DU_TYPE NOMBRE
5     c EST_DU_TYPE NOMBRE
6   DEBUT_ALGORITHME
7     POUR i ALLANT_DE 0 A 297
8       DEBUT_POUR
9       a PREND_LA_VALEUR (i-i%100)/100
10      c PREND_LA_VALEUR i-a*100
11      b PREND_LA_VALEUR (c-c%10)/10
12      c PREND_LA_VALEUR i-a*100-b*10
13      SI (a*100+b*10+c==11*a+11*b+11*c) ALORS
14        DEBUT_SI
15        AFFICHER "Pour i="
16        AFFICHER i
17        AFFICHER "On a :"
18        AFFICHER a
19        AFFICHER b
20        AFFICHER c
21        AFFICHER "="
22        AFFICHER a
23        AFFICHER b
24        AFFICHER "+"
25        AFFICHER b
26        AFFICHER c
27        AFFICHER "+"
28        AFFICHER c
29        AFFICHER a
30        FIN_SI
31      FIN_POUR
32  FIN_ALGORITHME

Résultat, il affiche $0$ qui convient car $000=00+00+00$ et $198$ car $198=19+98+81$.

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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 18:40
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spoiler:
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:09
J'ai essayé les sommations de 9, c'est à dire 198 et ses combinaisons, 279 et ses combinaisons, 369 et ses combinaisons...etc...on retombe toujours sur 198, donc 99 par sommation de lui-même c'est à dire a+c=b, a+b=c, je ne comprends pas pourquoi ni ne peux l'expliquer mais c'est une histoire de 9 Smile

spoiler c'est quoi ?
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:18
@piok a écrit:J'ai essayé les sommations de 9, c'est à dire 198 et ses combinaisons, 279 et ses combinaisons, 369 et ses combinaisons...etc...on retombe toujours sur 198, donc 99 par sommation de lui-même c'est à dire a+c=b, a+b=c,  je ne comprends pas pourquoi ni ne peux l'expliquer mais c'est une histoire de 9 Smile

spoiler c'est quoi ?

Le spoiler ça évite de montrer ta réponse à tous et de gâcher la "surprise" :p

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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:20
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spoiler:


Dernière édition par Professeur F le Ven 27 Mai - 19:23, édité 1 fois
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:23
Le 0 ? :p
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:25
comment on fait spoiler ? je crois que j'en ai trouvé un
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:29
[**spoiler="banane"] banane à écrire [/spoiler**] en enlevant les **
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 19:49
@piok a écrit:comment on fait spoiler ? je crois que j'en ai trouvé un

Il y a le bouton Spoiler qui est aussi disponible au dessus de l'endroit où tu tapes ton message Wink Et pour afficher les spoilers (mais à éviter tant qu'on a pas trouvé...), il suffit de cliquer sur le cadre orange.
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 20:33
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Spoiler:
198=19+98+81
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 21:09
@piok a écrit:
Spoiler:
198=19+98+81

Bien joué pour celui-ci, mais y en-a-t-il d'autres ?  Basketball
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Ven 27 Mai - 23:23
j'en vois bien un évident mais c'est absurde et ça n'a aucun sens pour le défi demandé puisqu'il faut au minimum une centaine, de là l'idée de partir de 99 : 9+9=18 et 8+1=9 qui s'intercale et on a 198.

Si on fait avec 999, pour le même raisonnement on a 9+9+9=27 et 2+7=9 qui s'intercale 297 qui est la somme de 3x99, 29+97+72=198 qui renvoie à 99, à 18, à 9...on en revient toujours à 9 et cela est sans doute logique puisqu'on démarre d'une centaine, c'est à dire de 3 rangs, ça ne peut se jouer que sur un multiple de trois. De 1 à 9 la progression est de trois, donc sur la centaine elle est de 300, sur 123, 456, 789 elle est de 333...mathématiquement ça doit pouvoir se dire mieux mais je ne sais pas le dire...néanmoins c'est amusant ce truc.


Bon, je viens de regarder tous les spoilers maintenant, au feeling j'étais pas si mal, mais en raisonnement calculatoire par contre c'est pas la gloire Rolling Eyes
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Mer 8 Juin - 11:51
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Réponse mathématique:
Une correction un peu mathématique s'imposait !
En effet les seules solutions sont $000$ et $198$.
On pouvait déjà se restreindre aux nombres $< 297$, puisque $abc < 99 + 99 + 99$.
Ensuite $c$ devait être égal aux unités de $a+b+c$ donc $a+b$ se termine par $0$ et ainsi $a = 10 - b$ ou $a=0=b$.
Ensuite, on teste au cas par cas, avec les valeurs possibles de $a$ :

$a = 0$ : donc $b=0$, ce qui nous donne $00c = 00 + 0c + c0 = cc$ et donc $c = 0$. On vérifie bien que $000$ est solution.

$a = 1$ : donc $b=9$, ce qui nous donne $19c = 19 + 9c + c1 = 20 + 9c + c0 = 110 + cc$ et donc $8c = cc$ d'où $c = 8$. De même on vérifie bien que $198$ est solution.

$a = 2$ : donc $b=8$, ce qui nous donne $28c = 28 + 8c + c2$. On s'arrête directement ici puisque ce n'est pas possible (il faudrait que $8c + c2 > 250$).
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Mer 8 Juin - 12:03
Curry je t'ai mis le message en spoiler pour ceux qui veulent avoir du temps pour réfléchir avant de voir la réponse !
Sinon j'avais déjà émis une "réponse mathématique" je t'invite à la regarder Wink
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Re: Défis tout niveau - 1er défi

le Mer 8 Juin - 12:13
Oups j'avais raté ta réponse. En effet la tienne est plus "propre". Bien joué Wink
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