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Démonstration Critère de Sylvester

le Lun 16 Mai - 20:17
Bonsoir,

je cherche à montrer que ces deux propositions sont équivalentes
Soit A une matrice symétrique d'ordre n

1) A est définie positive

2) Les déterminants de ses mineurs principaux sont strictement positifs

J'ai réussi pour 1=>2 mais 2=>1 je bloque Smile
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 8:31
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut !

J'ai la preuve sous les yeux dans Gourdon - Algèbre. Il faut faire une récurrence sur $n$. Tu as essayé ? Sinon, je pourrai te rédiger la solution.
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 8:46
Salut,
La preuve est sur wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive
Si tu ne comprends pas un passage n'hésite pas à revenir poser des questions.
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 11:02
Professeur J a écrit:Salut !

J'ai la preuve sous les yeux dans Gourdon - Algèbre. Il faut faire une récurrence sur $n$. Tu as essayé ? Sinon, je pourrai te rédiger la solution.

tu peux me montrer ce que ça donne stp ? pour comparer avec celle de Wiki
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 11:25
Réputation du message : 100% (1 vote)
Oui, voilà la preuve pour le sens qui t'intéresse :

Gourdon a écrit:Raisonnons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$. Pour $n=1$, c'est évident. Supposons le résultat vrai jusqu'au rang $n-1$ et montrons le au rang $n$. Notons $H$ l'hyperplan défini par $H=Vect(e_1,\cdots,e_ {n-1})$. D'après l'hypothèse de récurrence, la restriction $q_{|H}$ de $q$ à $H$ [$q$ est la forme quadratique dont $M$ est la matrice dans la base canonique $(e_1,\cdots,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$] est définie positive. Désignons par $(e_1',\cdots,e_{n-1}')$ une base orthonormée pour $q_{|H}$. On sait que l'orthogonal $H^{\perp}$ de $H$ vérifie $H\bigoplus H^{\perp}=\mathbb{R}^n$. Ainsi, si $e_n'$ désigne un vecteur non nul de $H^{\perp}$, la famille $B=(e_1',\cdots,e_{n-1}',e_n')$ est une base de $\mathbb{R}^n$ et la matrice de $q$ dans cette base s'écrit sous la forme

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0  \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & 1 & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \alpha
\end{pmatrix}$$

Si $P$ désigne la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ à la base $B$, on a $N=^tPMP$, donc $det(N)=det(P)^2det(M)>0$. Ainsi, $\alpha=det(N)>0$, ce qui prouve que $q$ est définie positive. La matrice $M$ est donc définie positive.
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 11:33
Ok merci, il n'y a pas une grande différence avec la démonstration de wiki ... Smile
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Re: Démonstration Critère de Sylvester

le Mar 17 Mai - 11:37
Il te reste plus qu'à l'écrire à ta sauce Razz
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