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somme de cos(kx)/k^2

le Sam 14 Mai 2016 - 0:00
Bonjour!

Je suis bloqué sur un exercice qui me demande de calculer la somme de k=1 jusqu'à l'infini de Cos(kx)/k^2.

On sait que pour 0
Donc, pour trouver la valeur de $\sum$ cos(kx)/k^2, j'ai calculé la primitive de (x-$\pi$)/2, qui équivaut à (x^2)/4 - (x$\pi$)/2 + c.

Je dois donc encore déterminer ce que c vaut. Si on évalue la somme en x=0, on trouve que c = $\sum$ 1/k^2 = ($\pi$^2)/6. Malheureusement, on doit trouver c d'une autre manière, car l'exercice suivant est justement de prouver que $\sum$ 1/k^2 est ($\pi$^2)/6.

J'ai pensé à évaluer la somme en un autre x, mais je n'obtient aucune résultat qui me soit utile. Par exemple, j'aurais volontiers pris x tel que cos(kx)=0 pour tout k, mais je ne crois pas que ce soit possible.

Pouvez-vous m'aider? Faut-il utiliser une tout autre méthode?
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Re: somme de cos(kx)/k^2

le Sam 14 Mai 2016 - 16:54
Salut, j'ai rien compris à ce que tu as fait pour avoir fait $\int \frac{x-\pi}{2}$ ???


Non il faut sûrement faire : $e^{kix}=cos(kx)+isin(kx)$


Donc $\sum cos(kx)=Re(\sum e^{(ix)^{k}} )$ Qui est facile à calculer car c'est une somme géométrique.

Maintenant pour ton cas il faut diviser par $k^2$ ça doit bien se faire avec cette méthode

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Re: somme de cos(kx)/k^2

le Sam 14 Mai 2016 - 19:21
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