Connexion
Statistiques
Nous avons 909 membres enregistrésL'utilisateur enregistré le plus récent est loic sonzogniNos membres ont posté un total de 6342 messagesdans 688 sujets
Qui est en ligne ?
Il y a en tout 2 utilisateurs en ligne :: 0 Enregistré, 0 Invisible et 2 Invités :: 1 Moteur de recherche

Aucun

Voir toute la liste

Aimez notre page Facebook !
Les posteurs les plus actifs du mois
1 Message - 50%
1 Message - 50%
Les posteurs les plus actifs de la semaine
Partagez
Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1936
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

DEFI N°1 - Niveau Master

le Mer 11 Mai - 19:08
Bonsoir à tous,

Dans l'esprit des autres défis, voici un exercice pour cette semaine. Comme j'ai peu de temps en ce moment, j'ai choisi la démonstration d'une proposition en théorie des nœuds. Cela permettra à certains de découvrir (et c'est accessible à bas niveau même si ça peut se corser). Pour commencer, voici quelques éléments concernant les nœuds :

Un nœud est la donnée d'une application $\gamma: [0;1]\rightarrow\mathbb{R}^3$ telle que $\gamma(0)=\gamma(1)$ et $\gamma(t)\neq\gamma(t')$ pour tous $t,t'\in\mathbb{R}^3$ tels que $t\neq t'$. Une définition plus abstraite est un plongement du cercle dans $\mathbb{R}^3$ (parfois dans $S^3$). Un entrelacs à $n$ composantes est défini comme l'union de $n$ nœuds. Voici par exemple le fameux nœud de trèfle :

Un des enjeux de la théorie des nœuds est la "création" d'outils permettant de les distinguer. Il s'agit notamment d'être capable, à l'aide d'outils mathématiques, de dire si un nœud est trivial (c'est-à-dire "démêlable") ou non. 
Cette semaine, je vous propose de travailler sur un de ces outils, le polynôme de Jones. En voici une définition :



Le polynôme de Jones est un invariant de nœuds : si deux nœuds sont équivalents (équivalents dans le sens où l'on peut passer de l'un à l'autre sans "coupage"), alors leurs polynômes de Jones sont égaux. La démonstration que je propose n'est pas très compliquée, mais elle permet de donner un avant-goût du côté combinatoire de la théorie des nœuds et de leur manipulation.

Proposition a écrit:Si $L_n$ est l'entrelacs trivial à $n$ composantes (c'est-à-dire l'union de $n$ nœuds triviaux), alors $V_{L_n}(t)=(-1)^{n-1}(\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}})^{n-1}$.

Une fois cette proposition démontrée, vous pouvez vous en servir pour calculer le polynôme de Jones du nœud de trèfle précédent.
Si vous avez des questions, si j'ai oublié de préciser certaines choses, faut pas hésiter Smile De même si certains sont intéressés, on pourra aller plus loin !
avatar
Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Messages : 361
Voir le profil de l'utilisateur

Re: DEFI N°1 - Niveau Master

le Jeu 12 Mai - 13:54
En gros c'est un outil mathématique pour savoir si un nœud est démêlable ou pas ? C'est excellent haha
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1936
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: DEFI N°1 - Niveau Master

le Ven 13 Mai - 11:46
Yep c'est à peu près ça Smile En fait le polynôme de Jones est un invariant mais pas un invariant complet. C'est-à-dire que grâce à lui tu peux montrer que deux nœuds ne sont pas les mêmes (si leurs polynômes ne sont pas les mêmes), mais tu ne peux pas conclure qu'il est possible de passer de l'un à l'autre s'ils ont le même polynôme. Pour ça, il y a des outils plus puissants, mais c'est pas l'objet de ce post^^
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant


Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum