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Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 0:54
Bonjour !

J'ai tenté de chercher un exercice sur les intégrales mais je bloque un peu.
Voilà l'énoncé :

Soit f une fonction continue et croissante, g une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t) dt=0 $
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

J'ai transformé l'inégalité à prouver ainsi :
$ 0 \leq \frac{1}{y} \int_0^y g(t)dt - \frac{1}{x} f(t)dt $ et j'ai tenté de minorer grâce à la monotonie des deux fonctions le membre de droite de l'inégalité que je viens d'écrire pour me ramener à un minorant tel que $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t) dt=0. $ mais je n'aboutit pas.

Si vous auriez des indices je suis preneur. Smile

Merci d'avance !
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 12:29
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Salut,
Décidément les intégrales sont à l'honneur en ce moment.
Je vais essayer de t'éclairer un peu.

Tu as $\int_0^a f(t)dt = \int_0^a g(t)dt = I$.

On choisit évidement $x$ et $y$ différents de $0$.

$x \int_0^y g(t)dt \ -\ y \int_0^x f(t)dt\ =\ \frac{1}{xy} ( \frac{1}{y} \int_0^y g(t)dt \ -\ \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt)$.

Maintenant $\frac{1}{y} \int_0^y g(t)dt$ correspond à la "moyenne" de la fonction entre 0 et y. Ca tend vers $\frac{I}{a}$ de façon décroissante (car la fonction g est décroissante). De même $\frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt$ tend vers $\frac{I}{a}$ de façon croissante. Donc la première est toujours plus grande que la seconde. D'où l'inégalité.

Maintenant j'ai montré ça "avec les mains", à toi de justifier ce que je viens de faire.
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 17:24
Bonjour !

J'ai compris qu'il faut montrer que $ \frac{1}{x} \int_0^xf(t)dt \leq \frac{I}{a} $ (et inversement pour g) mais c'est la que je ne vois pas comment l'obtenir en exploitant uniquement la monotonie des deux fonctions.
J'ai tenté de découper avec la relation de chasles, de factoriser pour retrouver l'expression de I/a mais ça n'a rien donné. En fait je ne vois pas bien où intervient réellement la monotonie.
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 18:44
Réputation du message : 100% (2 votes)
Bien. Supposons que $a = nx$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.
On a $$\frac{I}{a} = \frac{1}{a} \int_0^a f(t)dt\ =\ \frac{1}{a} \left ( \int_0^x f(t)dt\ +\ \int_x^{2x} f(t)dt \ +\ \ldots +\ \int_{(n-1)x}^a f(t)dt \right )$$

Mais par croissance de la fonction $f$, $\forall \ 0 \leq p \leq n-1$ on a $\int_{px}^{(p+1)x} f(t)dt \geq \int^x_0 f(t)dt$.
Et donc $$ \frac{I}{a} \geq \frac{1}{a} \left ( \underbrace{  \int_0^x f(t)dt\ +\ \int_0^{x} f(t)dt \ +\ \ldots +\ \int_{0}^x f(t)dt}_{\text{n fois}} \right ) \geq \frac{n}{a} \int_0^x f(t)dt \geq \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt$$

Plusieurs remarques :
- Si la phrase du milieu (qui commence par Mais par croissance de la fonction $f$) n'est pas claire, montres le. Indice : en utilisant le min de la fonction $f$ sur chaque petit intervalle $[px,(p+1)x]$.
- Il te reste maintenant le cas où $a$ n'est pas un multiple de $x$. Ce n'est pas beaucoup plus dur, tu découpes de la même façon, sauf qu'il va te reste un petit morceau d'intégrale en plus à la fin, normalement ça doit se regrouper pour donner le même résultat.
- La démonstration pour $g$ est exactement la même.
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 19:45
Merci beaucoup ! Je n'avais pas pensé à découper.

Pour la première remarque ça se comprend très bien graphiquement mais j'ai préféré le démontrer. j'ai utilisé un changement de variables (il y a peut-être plus rapide/élégant ?)
----------------------------------------------------------------------------
On fixe p un entier naturel. x est déjà fixé dans [0,a]

$ \int _{px}^{(p+1)x}f(t)dt = \int _0^x f(t+px)dt $

Or pour tout t dans [0,x] : $  f(t) \leq f(t+px) $

On obtient alors le résultat en intégrant entre 0 et x.
-------------------------------------------------------------------------------

Concernant la deuxième remarque, j'ai toujours un problème.
On pose $ n = \left \lfloor \frac{a}{x} \right \rfloor $
On a alors :

$ \frac{I}{a} = \frac{1}{a}\sum_{k=0}^{n-1}(\int_{kx}^{(k+1)x}f(t)dt) + \frac{1}{a}\int_{nx}^{a}f(t)dt $

en utilisant l'inégalité démontrée juste au dessus :

$ \frac{I}{a} \geq  \frac{n}{a}\int_{0}^{x}f(t)dt + \frac{1}{a}\int_{nx}^{a}f(t)dt $

Or $ \left \lfloor \frac{a}{x} \right \rfloor \geq \frac{a}{x}-1 $   On obtient donc :

$ \frac{I}{a} \geq  \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt-\frac{1}{a}\int_{0}^{x}f(t)dt + \frac{1}{a}\int_{nx}^{a}f(t)dt \geq \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt+\frac{1}{a}(-\int_{0}^{x}f(t)dt + \int_{nx}^{a}f(t)dt) $

Il faut donc montrer que $ \int_{0}^{x}f(t)dt \leq \int_{nx}^{a}f(t)dt $

C'est là que j'ai un problème, la longueur du segment où on intègre n'étant pas identique...
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mar 10 Mai - 22:19
En attendant je pense avoir trouvé une autre solution :

Soient $ x,y \in [0,a] $
$ \forall t \in [0,x], f(t) \leq f(x) $   car f est croissante
donc en intégrant par rapport à x entre 0 et a et en multipliant par y (positif) :
$ ayf(t) \leq y \int _0^a f(x)dx $
et finalement en intégrant par rapport à t entre 0 et x :
$ ay \int _0^x f(t)dt \leq xy \int _0^a f(x)dx $

En procédant de la même manière pour g (décroissante) :
$ ax \int _0^y g(t)dt \geq xy \int _0^a g(x)dx $

En faisant la différence des deux inégalités :
$ a[x\int_0^yg - y\int_0^x f] \geq xy[\int_0^ag -\int_0^af] =0 $
d'où le résultat.

Je reste tout de même intéressé par mon problème précédent (bien que je suis sûr qu'il n'y ait rien de difficile, je bloque)
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mer 11 Mai - 8:56
Tu as $$\frac{I}{a} \geq \frac{n}{a} \int_0^x f(t)dt \ + \ \frac{1}{a} \int_{nx}^a f(t)dt$$

Mais $$\frac{1}{a} \int_{nx}^a f(t)dt \ \geq \ \frac{1}{a}\frac{a-nx}{x} \int^x_0 f(t)dt$$.

Ainsi $$ \frac{I}{a} \geq \left ( \frac{n}{a} + \frac{1}{a} \frac{a-nx}{x} \right ) \int_0^x f(t)dt$$
Et comme $\frac{n}{a} + \frac{1}{a} \frac{a-nx}{x} = \frac{1}{x}$ tu as gagné.
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mer 11 Mai - 9:09
Réputation du message : 100% (1 vote)
Sinon pour ton autre solution il y a des choses qui me chagrinent.Tu fixes $x$ et puis tu intègres par rapport à ce même $x$. Je ne penses pas que tu puisses (mais ça fait longtemps que je ne fais plus d’intégrales). Même si cette solution parait élégante, je suis persuadé qu'elle est fausse.

Edit : bon, je suis sur que c'est faux :
En prenant $f(t) = t$ sur $[0,1]$. Pour tout $t \in [0,1]$ tu n'as pas $f(t) \leq \int_0^1 f(x) dx$ car ce qui est à droite vaut 1/2, il suffit de prendre $t=1$ ...
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Re: Calcul intégral - inégalité

le Mer 11 Mai - 12:33
Merci beaucoup !

Oui j'ai eu un peu de mal à comprendre la deuxième ligne mais je pense que c'est bon :

$ \int _{nx}^af(t)dt\geq f(nx)(a-nx)\geq \frac{a-nx}{x}\int_{0}^{x}f(nx)dt\geq \frac{a-nx}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt $

Bon bah ça n'aura pas été une réussite mais ça m'aura bien aidé pour les prochaines manipulations d'inégalités avec des intégrales de fonctions monotones donc merci beaucoup !

Concernant la deuxième "solution", elle est en effet fausse Embarassed
Je pourrais intégrer par rapport à x (même si x est fixé l'négalité est vraie pour tout x) mais j'oublie la dépendance de t (choisi dans [0,1] ) en x. On pourrait/devrait limite écrire $ t_x $ pour ne pas se louper.
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