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Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 9 Mai - 14:55
Bonjour,

bien...je travaille sur la capacité à bien raisonner en mathématiques que j'aimerais développer, et qui sait, acquérir un jour Rolling Eyes
Après un "potassage" en règle que j'espère fructueux et d'exos divers piochés ici et là, je soumets à votre lecture attentive et bienveillante ces deux tentatives courageuses Wink

Pour commencer une démonstration par récurrence qui m'a pris tout mon samedi, (nan...ne rigolez pas) et après ce hors-d'oeuvre, une démonstration de la distributivité de l'intersection par rapport à l'union qui m'a pris tout mon dimanche, (nan...c'est pas une blague non plus)

I°: Soit P(n) la propriété définie pour tout entier supérieur ou égal à 1 par: 1x2+2+3+...+ n x (n+1)= $\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$,
démontrer par récurrence que pour tout n $\geq$ 1 P(n) est vraie

Initialisation : Vérifions que P(1) est vraie, on a
                     1 x (1+1) = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$, donc P(1) est vraie

Hérédité : Pour un entier quelconque $\geq$ 1 nous supposons P(n) vraie et nous prouverons que P(n+1) est vraie.

Nous voyons que P(n+1) est : 1 x 2 +...+(n+1)(n+2)=$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$ et qu'il nous faut démontrer cette égalité par notre hypothèse de récurrence, ce qui nous ramène à réécrire P(n) + P(n+1), ce qui donne

1 x 2+...+ n x (n+1) + (n+1) + (n+2) = $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2) ce qui est égal, (après mise en facteur) à

(n+1)(n+2)[$\frac{n}{3}$ (+1)] pour arriver à :
                     
                        $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$  ce qui vérifie bien P(n+1) et donc nous permet d'affirmer que P(n+1) est vraie.

Conclusion : Ainsi et selon les trois étapes requises de la démonstration par récurrence, nous avons montré dans l'initialisation que P(1) est vraie, dans l'hérédité, nous avons montré par hypothèse de récurrence que P(n) est héréditaire et donc vraie pour tout entier n $\geq$ 1

Voilà pour la première présentation.

Pour la démo des ensembles je la mettrai ce soir ou demain car là je n'ai plus  le temps.

Merci Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 9 Mai - 15:48
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Bonjour piok  Very Happy

Tu sembles avoir compris le principe de récurrence, mais il y a quelques erreurs.


1x2+2+3+...+ n x (n+1)= $\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$,
Tu voulais bien dire  1x2+2x3+...+ n x (n+1) ?


Il y a une erreur la:
 ce qui nous ramène à réécrire P(n) + P(n+1)
1 x 2+...+ n x (n+1) + (n+1) + (n+2) = $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2)
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mer 11 Mai - 5:13
bonjour Khyxes,

oui, il y a quelques coquilles, Tu voulais bien dire  1x2+2x3+...+ n x (n+1) ? exact, étourderie de ma part...

@khyxes a écrit:


Il y a une erreur la:
 ce qui nous ramène à réécrire P(n) + P(n+1)
1 x 2+...+ n x (n+1) + (n+1) + (n+2) = $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2)

c'est ici je suppose ?

merci Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mer 11 Mai - 8:42

oui, il y a quelques coquilles, Tu voulais bien dire  1x2+2x3+...+ n x (n+1) ? exact, étourderie de ma part... 

D'accord, je voulais juste être sur qu'on parlait bel et bien de la même chose  Very Happy

Mais cette égalité 

 ce qui nous ramène à réécrire P(n) + P(n+1)
1 x 2+...+ n x (n+1) + (n+1)(n+2) = $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2)

est vraiment fausse

1 x 2+...+ n x (n+1) + (n+1) + (n+2) 

Si j'ai bien compris ce que tu essayes de faire, c'est un "x"

Le problème est que:
Tu as prouvé que
P(n) est vrai c'est à dire que 
1x2+2x3+...+ n x (n+1)=$\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$

Et ensuite tu écris
1x2+2x3+...+ n x (n+1)+(n+1)(n+2)= $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2).


A pars ça:

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris ce que tu veux dire par 

qu'il nous faut démontrer cette égalité par notre hypothèse de récurrence, ce qui nous ramène à réécrire P(n) + P(n+1), ce qui donne
Mais ça dois juste être un probleme de rédaction, je pense que tu as compris le principe de l'éxo.


Je ne sais pas si tu connais cette notation mais 
1x2+2x3+...+ n x (n+1) peut aussi s'écrire $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ qui se lit 
Somme des k(k+1) de k=1 à k=n.

$\sum_{k=1}^{n}$ $k(k+1)=\underbrace{k(k+1)}_{\text{avec k=1}} +\underbrace{k(k+1)}_{\text{avec k=2}}+\underbrace{k(k+1)}_{\text{avec k=3}}+....+\underbrace{k(k+1)}_{\text{avec k=n}}$   =1x2+2x3+...+ n x (n+1)
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mer 11 Mai - 9:38
Je vais regarder plus attentivement ce que tu me dis, mais là je n'ai plus trop le temps.

Pour autant, il est juste que le fait de supposer P(n) vraie pour arriver à prouver que P(n+1) est vraie, demande à bien préciser, écrire et comprendre ce qu'est P(n+1) par rapport à P(n) qui est l'hypothèse de récurrence sur laquelle tout repose, je ne crois pas me tromper non ? et là c'est vrai qu'il ne faut pas se mélanger les pinceaux en rédigeant tout ça.

En fait je me suis fait le raisonnement suivant, selon d'ailleurs ce que l'on en dit dans le cours :
qu'est ce que P(n) dans mon intitulé, qu'est ce que P(n+1) qui est à prouver...et à mon avis ça doit être là que je plante, au moment de réécrire la somme des n(n+1).

Je ne sais pas si j'arrive à bien me faire comprendre, mais en fait tu vois juste, je pige le truc qui me paraît clair et logique mais savoir parler et écrire la langue mathématique...pardon hein!...Rolling Eyes ça craint.

Ta notation avec la somme c'est exactement ça mais je ne suis pas suffisamment sûr et expérimenté pour manipuler tous ces "hiéroglyphes" avec aisance...ça a un côté pénible d'ailleurs cette cabalistique mathématique. Shocked  

Je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment, et demain je suis absent, dès que je peux je vais essayer de me repencher sur le problème Wink  mais, évidemment, toutes remarques et suggestions sont bienvenues comme d'hab ! Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mer 11 Mai - 10:09
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Tu as bien compris le principe de récurrence 

  • Initialisation: On prouve que pour P(n) est vrai pour n=a
  • Hérédité: On prouve que si P(n) est vrai alors P(n+1) est vrai
  • Conclusion: Donc p(n) est vrai pour tous n$\geq $a


piok
En fait je me suis fait le raisonnement suivant, selon d'ailleurs ce que l'on en dit dans le cours : 
qu'est ce que P(n) dans mon intitulé, qu'est ce que P(n+1) qui est à prouver...et à mon avis ça doit être là que je plante, au moment de réécrire la somme des n(n+1). 

Ici tu as:
P(n) est: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=$\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$
P(n+1)=1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

P(n) et  P(n+1) sont des proposition/propriété, tu ne peux pas écrire P(n)+P(n+1) , tu ne peux pas additionner deux propriétés.


Ecrire
1x2+2x3+...+ n x (n+1)=$\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$
et
1x2+2x3+...+ n x (n+1)+(n+1)(n+2)= $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2).

Revient à écrire 

$\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$+(n+1)(n+2)= $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$+ (n+1)(n+2).


Et donc

$\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$= $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$.


Tu n'es pas loin de la solution, défini bien ce que tu à déja démontré et ce que tu veux obtenir Very Happy

Ta notation avec la somme c'est exactement ça mais je ne suis pas suffisamment sûr et expérimenté pour manipuler tous ces "hiéroglyphes" avec aisance...ça a un côté pénible d'ailleurs cette cabalistique mathématique.  
C'est normal au départ, ça viendra au fur et à mesure Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Dim 15 Mai - 19:58
Bonjour,

avant d'aller plus loin et pour être sûr de bien comprendre, il y a pour l'étape de l'initialisation une question que je me pose :

On vérifie à un rang donné que la propriété est vraie pour la valeur n la plus petite, ici en l'occurence $\geq$ 1 donc P$_{1}$ , cette vérification peut se répéter pour P$_{2}$, P$_{3}$, qui suppose par induction la validité d'un raisonnement que le principe de récurrence par l'hérédité doit démontrer pour la généralité. Or, je vérifie sur le rang 1, P$_{1}$ est vraie, sur le rang 2 P$_{2}$ est vraie mais plus au-delà, ça a tendance à me contrarier d'autant plus que pour l'étape suivante l'hérédité c'est ok, donc quelque part il y a quelque chose de pas tout à fait clair sur l'initialisation et ça m'empêche de continuer...Je pourrais l'ignorer et continuer mais voilà, je ne peux pas tant que c'est pas totalement clean pour moi Question

merci Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Dim 15 Mai - 20:15
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Si tu as une propriété P(n)

L'initialisation consiste à prouver que ta propriété est vrai pour un n donnée, par exemple 1.

Ensuite dans l'hérédité on prouve que si P(n) est vrai cela implique que P(n+1) est vrai.

Etant donné que l'on a prouvé que P(1) est vrai, ont peut déduire que P(2), puis que (3) est vrai etc.
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Dim 15 Mai - 23:11
Salut Khyxes,

oui, ça j'ai bien compris et d'ailleurs je vais poster la démonstration complète, mais ce que je voulais dire ici c'est si je peux initialiser sur plusieurs valeurs de n, n=0, n=1, n=2 ou plus et vérifier la propriété plus loin, mais cette question n'a probablement pas de sens dans la mesure ou l'initialisation à 0 ou 1 suffit à faire tomber le premier domino...
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Dim 15 Mai - 23:14
Salut Piok Smile 
Oui, tu peux ! Si ça te conforte ou même te permet de "comprendre" un peu mieux la propriété (des fois ça peut même aider à comprendre comment on va prouver l'hérédité).
Mais ça sera juste un peu de travail en plus.
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 10:27
salut Prof Wink

l'initialisation est une étape de vérification de la propriété et c'est amusant d'aller vérifier cette propriété un peu plus loin, comme ça par simple curiosité 8)
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 10:51
Par contre, il est indispensable de le faire au moins une fois (la première fois n'est pas juste une "simple" vérification ; c'est une vérification, mais nécessaire).
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 14:11
@piok a écrit:salut Prof Wink

l'initialisation est une étape de vérification de la propriété et c'est amusant  d'aller vérifier cette propriété un peu plus loin, comme ça par simple curiosité 8)


Comme l'a dit Prof J c'est nécessaire de le faire ! Tu trouveras sûrement des exercices où tu arriveras à montrer que l'implication $P_n \rightarrow P_{n+1}$ est vraie pourtant la proposition est totalement fausse !

Jvais essayer de te trouver un exo comme ça Very Happy
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 18:19
c'est quand même intrigant cette affaire on cherche à démontrer une propriété allant du particulier au général et elle ne se vérifie pas toujours dans tous les cas particuliers...

Note que je comprends bien que dans un cas de figure de démonstration comme celui-ci qui se base sur une hypothèse supposée vraie pour n quelconque, l'étape de l'initialisation soit absolument fondamentale, seule condition de validité de tout le raisonnement à suivre...c'est quand même bluffant les maths Laughing...j'aime
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 19:42
Salut Piok,

Je ne comprends pas trop ton dernier message... Tu trouves qu'il y a quelque chose de bizarre dans le raisonnement par récurrence ? Car il est très intuitif en fait (et je t'ai même entendu parler de l'image des "dominos" qui illustre bien ce principe). En fait, il est possible de montrer rigoureusement le principe de récurrence, mais je pense que se fier à l'intuition te suffira pour le moment Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 20:23
Salut Prof,

pas toujours facile de dire les choses, néanmoins voilà ce que j'ai refait avec cet exercice  

I°: Soit P(n) la propriété définie pour tout entier $\geq$  1 par: 1x2+2x3+...+ n x (n+1)= $\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$,
démontrer par récurrence que pour tout n $\geq$ 1 P(n) est vraie

Initialisation : Vérifions que P(1) est vraie, on a
                     1 x (1+1) = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$, donc P(1) est vraie

Hérédité : Supposons P$_{k}$ vraie pour un entier quelconque $\geq$ 1 et voyons si nous avons P$_{k+1}$.



définissons P$_{k+1}$ :
= 1 x 2 +...+(k+1)(k+2)=$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

Nous avons par hypothèse de récurrence

1 x 2+...+ k x (k+1) + (k+1) (k+2) = $\frac{(k+1)(k+2)}{3}$+ (k+1)(k+2)

ce qui donne
= $\frac{(k+1)(k+2)+3 (k+1)(k+2)}{3}$

= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$  

P$_{k}$ supposée vraie nous a bien conduit à P$_{k+1}$,
donc P$_{k+1}$ est vraie.

Conclusion : Nous avons vu que P(1) est vraie, P$_{k}$ est héréditaire à partir du rang 1. Donc selon le principe de récurrence nous en concluons que P(n) est vraie pour tout entier n $\geq$ 1

merci Smile
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Lun 16 Mai - 20:37
@piok a écrit:1 x 2+...+ k x (k+1) + (k+1) (k+2) = $\frac{(k+1)(k+2)}{3}$+ (k+1)(k+2)

ce qui donne
= $\frac{(k+1)(k+2)+3 (k+1)(k+2)}{3}$

= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$  
$(k+1)(k+2)+3 (k+1)(k+2)$=$4 (k+1)(k+2)$

Tu a juste fait une petite erreur avant  Very Happy
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mar 17 Mai - 8:15
Boouuh ! horrible...j'ai oublié le k de l'hypothèse de récurrence d'où je ne peux pas écrire (k+3)

Désolé Sad et pourtant j'ai relu avant de poster en plus Embarassed
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mar 17 Mai - 8:21
Réputation du message : 100% (1 vote)
@piok a écrit:Boouuh ! horrible...j'ai oublié le k de l'hypothèse de récurrence d'où je ne peux pas écrire (k+3)  

Désolé Sad et pourtant j'ai relu avant de poster en plus Embarassed  


Correction

I°: Soit P(n) la propriété définie pour tout entier $\geq$  1 par: 1x2+2x3+...+ n x (n+1)= $\frac{n (n+1)(n+2)}{3}$,
démontrer par récurrence que pour tout n $\geq$ 1 P(n) est vraie

Initialisation : Vérifions que P(1) est vraie, on a
                     1 x (1+1) = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$, donc P(1) est vraie

Hérédité : Supposons P$_{k}$ vraie pour un entier quelconque $\geq$ 1 et voyons si nous avons P$_{k+1}$.



définissons P$_{k+1}$ :
= 1 x 2 +...+(k+1)(k+2)=$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

Nous avons par hypothèse de récurrence

1 x 2+...+ k x (k+1) + (k+1) (k+2) = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$+ (k+1)(k+2)

ce qui donne
= $\frac{k(k+1)(k+2)+3 (k+1)(k+2)}{3}$

= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$  

P$_{k}$ supposée vraie nous a bien conduit à P$_{k+1}$,
donc P$_{k+1}$ est vraie.

Conclusion : Nous avons vu que P(1) est vraie, P$_{k}$ est héréditaire à partir du rang 1. Donc selon le principe de récurrence nous en concluons que P(n) est vraie pour tout entier n $\geq$ 1
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mar 17 Mai - 8:48
cheers
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mar 17 Mai - 12:01
Basketball
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Mer 18 Mai - 16:16
Salut @Piok, pour info, ça pourrait être intéressant que tu regardes les suites (programme de Première S). C'est un chapitre important, et en plus tu pourras bosser sur beaucoup de raisonnements par récurrence grâce à ça.

En plus, je suis en train d'ajouter des exercices sur cette page : http://www.mathsendirect.fr/terminales/suites-et-recurrence.html

Tout en bas de la page, je vais ajouter des exercices avec des corrections (pour l'instant il n'y en a qu'un seul) Wink
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Jeu 19 Mai - 12:39
Salut prof Very Happy

Ah oui c'est super, c'est bien que tu me parles de ça, justement je cherche sur le net tout ce qui peut m'apprendre les suites pour continuer à bosser le secteur de la récurrence...j'essaie de me constituer des fiches de travail et d'exos pour faire le nouveau et refaire le déjà vu, donc tout ce matos est bienvenu et vraiment je t'en remercie pour le temps que tu y consacres.

J'ai pas mal de boulot ailleurs pour l'instant qui me prend du temps mais dès que j'ai un moment j'y fonce Wink

Je viens d'aller y faire un tour vite fait, c'est génial Smile beau boulot je vais m'imprimer tout ça au fur et à mesure et bosser efficacement Idea encore merci 8)
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Jeu 19 Mai - 14:10
Hello Smile

Sur le lien que je t'ai donné, il faut quelques bases sur les suites. Si jamais tu as besoin de ces bases, je pourrai t'écrire un cours dessus (niveau Première S en fait...).
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Re: Démonstration ensembles, récurrence P(n) et autres...

le Jeu 19 Mai - 16:56
Je viens d'ajouter un deuxième exercice, et il n'y a pas besoin de suites pour le résoudre Wink
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