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Equivalent d'une intégrale

le Ven 6 Mai - 16:20
Bonjour,

Il faut que je montre que $\int_e^x ln(ln(u))du \sim_{\infty} xln(ln(x))$

Tout d'abord que signifie l'équivalent en l'infini d'une intégrale ? Rolling Eyes

J'ai tout d'abord fait un changement de variable t=ln(u) puis une intégration par partie et j'obtiens que l'intégrale est égale à $xln(ln(x)) - \int_1^{ln(x)} \frac{e^t}{t}dt$ et la je suis bloqué
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 6 Mai - 17:12
Tu peux pas essayer de montrer qu'en +l'infini $\int \frac{e^t}{t} \rightarrow 0$ (je sais pas si c'est vrai) , dans ce las là tu as bien ton ~
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 6 Mai - 17:31
je n'arrive pas à calculer cette intégrale ^^ et sur wolfram il me sort un truc que j'ai jamais vu :p
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 6 Mai - 18:06
Refais ton IPP t'as du te planter quelque part mais ça a l'air d'être la bonne méthode vu que t'as xln(ln
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 6 Mai - 18:35
Je pose $t=ln(u)\Longrightarrow dt=\frac{1}{u}du$ donc $u=e^t \Longrightarrow du=e^tdt$
$\int_e^x ln(ln(x))= \int_1^{ln(x)} ln(t)e^tdt$

IPP avec :
$v' = e^t \Longrightarrow v=e^t$
$w=ln(t) \Longrightarrow w' = \frac{1}{t}$

$\int_e^x=[e^tln(t)]_1^{\ln(x)} - \int_1^{ln(x)} \frac{e^t}{t}dt$
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 11:33
@Professeur J
@Curry

Help ^^
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 13:08
C'est un DM?

Au pire demande sur le 18-25, y'a quelques machines en maths dessus
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 13:26
oui .. je pense que je vais changer de site .... les profs sont très rarement co Sad
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 16:23
Salut,
Je ne suis pas connecté le week-end, et ton problème n'est pas évident. Je n'ai pour l'instant pas de solution.
Ce que tu as fait est juste, il faut maintenant montrer que $\int_1^{ln(x)} \frac{e^t}{t}dt$ est négligeable devant ta première intégrale, ce qui me semble difficile.
Pour PouletAtomique, aucune chance que l'intégrale de $\frac{e^t}{t}$ converge vers 0.

J'ai peut être une autre piste, je te dis si je trouve mieux.
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 16:26
Bon, j'ai bien mieux.
Je te dis ça ce soit, dés que j'ai plus de temps.
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 16:41
Merci Curry Smile
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 16:49
Curry a écrit:Salut,
Je ne suis pas connecté le week-end, et ton problème n'est pas évident. Je n'ai pour l'instant pas de solution.
Ce que tu as fait est juste, il faut maintenant montrer que $\int_1^{ln(x)} \frac{e^t}{t}dt$ est négligeable devant ta première intégrale, ce qui me semble difficile.
Pour PouletAtomique, aucune chance que l'intégrale de $\frac{e^t}{t}$ converge vers 0.

J'ai peut être une autre piste, je te dis si je trouve mieux.


Ouaip je me suis vite rendu compte qu'elle allait pas converger mais je me suis mal exprimé,je voulais dire qu'on pouvait la négliger devant l'autre mais alors comment montrer ça j'en sais rien Very Happy
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 20:04
Alors, c'est complétement différent de ce que tu as fait, je pars du résultat.

$xln(ln(x)) = [t.ln(ln(t))]^x_e$. On cherche la dérivée de $t.ln(ln(t))$ qui est $ln(ln(t)) + \frac{1}{ln(t)}$.
$[t.ln(ln(t))]^x_e = \int_e^x ln(ln(t)) dt \ + \ \int_e^x \frac{dt}{ln(t)}$.

En y réfléchissant on est bloqué au même niveau qu'avec ton essai. Seulement $\int_e^x \frac{dt}{ln(t)}$ est appelé Logarithme intégral, et on connait un peu cette fonction (https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_int%C3%A9gral).
Néanmoins je n'ai pas de suite, je vais continuer à y réfléchir un peu.
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Lun 9 Mai - 20:10
Merci pour ton essai curry ... Smile
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Mar 10 Mai - 8:15
Tu n'as pas des questions intermédiaires ? Ca ne ferait pas partie d'un problème plus général ? J'ai du mal à concevoir que ça soit posé comme ça dans ton dm.
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Mar 10 Mai - 11:13
c'est la première question de l'exercice, après je dois montrer que $x\mapsto \int_e^xln(ln(t)dt$ est convexe et ensuite la dessiner graphiquement
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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 13 Mai - 11:47
Réputation du message : 100% (1 vote)
Voici ce qu'un ami m'a dit, qu'en pensez vous ?
@curry

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Re: Equivalent d'une intégrale

le Ven 13 Mai - 13:53
En effet c'était tout bête Embarassed
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