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Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 18:07
Salut

Il y a un exercice d’algèbre linéaire dont je ne comprend pas la correction

Exo a écrit:Soit $ f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^p$ une application linéaire injective.
A-t-on pour tout sous espace vectoriel $E\subset\mathbb{R}^n$
$dim(f(E))=dim(E)$ ?

Pour moi 
$\Rightarrow  Dim$[Espace de depart]$=dim(\mathbb{R}^n)=dim(Im(f))+dim(Ker(f))$

f injective $\Rightarrow$  $dim(Ker(f))=0$
$\Rightarrow  Dim$[Espace de depart]$=dim(\mathbb{R}^n)=dim(Im(f))$

Donc dans un SEV $E\subset\mathbb{R}^n$
$dim(E)=dim(Im(f(E)))=dim(f(E))$

Or d'apres la correction

C'est faux car il peut y avoir $dim (f(E))>dim(E)$

scratch
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 18:54
Pourquoi dim (Ker(f(E)) =0 ?
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 19:02
On a une application linéaire f injective donc $dim(Ker(f))=0 $

 Et $dim(Ker(f))=0 \Rightarrow dim(Ker(f(E)))=0$

 non ?
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 19:28
Elle est injective de R^n dans R^p mais peut être pas de E dans R^p ?


(j'en sais rien j'aime pas l'algèbre et j'en ai aps fait depuis des lustres)
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 19:54
f est injective

$\Leftrightarrow Ker(f)=\vec 0$
$\Leftrightarrow$ le seul vecteur u tel que $f(u)=0$ est  $\vec 0$

Que l'on soit dans un SEV,   E $\subset \mathbb{R}^n$ ne devrait rien changer.
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 20:29
Salut,

Je serais plutôt d'accord avec toi qu'avec la correction, ou alors il manque quelque chose dans l'énoncé (ou alors je suis très fatigué, possible aussi Very Happy )
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 20:39
J'ai posté l'énoncé en entier.

Je demanderais confirmation à ma prof demain  Smile
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 20:50
Tu as trouvé cet exo où ?
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Re: Dimension algebre linéaire

le Jeu 5 Mai - 21:02
Une amie me l'a envoyé, mais la correction a été faites par son prof de TD.

Peut être, une erreur du prof, ou peut-être qu'elle à juste mal recopié ^^
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