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[DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Lun 2 Mai - 15:12
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut tout le monde,

Le but c'est de mettre quelque exercices sans prises de tête, la correction ou enfin une ébauche sera publiée en fin de semaine ! Pour ceux qui ont trouvés la solution, essayer d'utiliser les balises spoilers ! Very Happy

J'en mets quelque uns de difficulté variable, on va voir les courageux :hap:

1) Un exo de proba :

J'ai 3 cartes. Une carte noire des deux côtés. Une carte blanche des deux côtés. Et une carte blanche d'un côté et noire de l'autre.
Je tire une carte au hasard et je la pose sur la table. La face visible est blanche. Quelle est la probabilité que l'autre face soit blanche aussi?

2) Une limite de suite:

Si on pose :
$U_0 = 17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$

Quelle est la limite de $n*U_n $?

3) Celui là va vous mettre en sang




réponse:
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Lun 2 Mai - 15:20
Petite précision:
Je rends à César ce qui est à César, ce sont des exos trouvés sur jvc Very Happy
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 12:38
Bon allez je m'y colle Smile

1)
Spoiler:
On sait que un des faces est blanche et on veut connaître la proba que l'autre face soit également blanche. Autrement dit, on cherche la proba de tirer la carte blanche des deux côtés. P(BB) = 1/3

2)
Spoiler:
En calculant les premiers termes on peut émettre deux conjectures :
1) La suite prend des valeurs positives
2) La suite est décroissante

Démontrons la première conjecture par récurrence :
Initialisation : on vérifie pour n=0
$U_0=17>0$

L'hypothèse est vérifiée pour n=0

Hérédité : on suppose que $>U_n>0$, on montre que $U_{n+1}>0$
$U_n>0$
$1+U_n>0$
$ln(1+U_n)>0$  par croissance de la fonction ln

Conclusion : $\forall n\in \mathbb{N} \quad U_n>0$


Démontrons la deuxième conjecture :
$\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{ln(1+U_n)}{U_n}$

Soit la fonction de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{ln(1+x)}{x}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x}x-ln(1+x)}{x^2}=\frac{x-(1+x)ln(1+x)}{x^2(1+x)}$

Le dénominateur est strictement positif est il est clair que $x<(1+x)ln(1+x)$
Par conséquent $f'(x)<0$, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$
On en déduit que $\frac{U_{n+1}}{U_n}<0$

En conclusion :
Notre suite est décroissante mais reste toujours positive, c'est à dire que sa limite vaut 0. (la valeur de $U_n$ va sans cesse diminuer mais sans jamais passer en dessous de 0)

Finalement $lim_{n\to \infty}nU_n = n\times 0=0$

3)
Spoiler:
Bon faut pas rêver ....j'ai rien pigé à celui-ci ^^
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 13:45
dark02
2):
$0*\infty$ est une forme indéterminée Very Happy
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 13:53
oups ! Embarassed
je rechercherais plus tard .... grrr
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 14:00
Hahaha
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 16:58
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bon je me lance Smile

1)
Spoiler:

On a une face blanche donc on a soit :

  • La carte blanche des deux côtés 
  • La carte blanche d'un côté et noire de l'autre.

On cherche la probabilité d'avoir un carte blanche des deux côtés donc 1/2

2)

Spoiler:


Si on pose :
$U_0 = 17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$


$Soit f(x)=ln(1+x)-x$
Définit sur $]-1,\infty[$

$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1$
$\forall x\geq 0$   $\frac{1}{1+x}\leq 1$
$\Leftrightarrow   \frac{1}{1+x}-1\leq 0$
$\Leftrightarrow   ln(1+x)-x$ decroissante sur $[0,\infty[$
$ f(0)=ln(1+0)-0=ln(1)=0$
$\Leftrightarrow \forall x> 0$   $ln(1+x)-x<0$
$\Leftrightarrow \forall x> 0$   $ln(1+x)< x$

On a prouver que 
$\forall x> 0$   $ln(1+x)< x$
De plus $\forall x>0$   $1+x>1$ $\Leftrightarrow$ $ln(1+x)>0$

$U_0=17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$

D’après ce que l'on a vu précédemment
$\forall n\in\mathbb{N}$
$0< U_{n+1}=ln(1+U_n)< U_n$
On en deduit que $U_n$ tend vers $0$


Pour N très grand $U_n=U_{n+1}=ln(1+U_n)=ln(1)=0$ Car $U_n$ tend vers $0$

On en déduit que $lim$ $n*U_n =lim$ $n*ln(1)=lim$  $ln(1^n)=lim$ $ln(1)=0$


3)

Spoiler:

WTF Shocked confused
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 17:11
Ta réponse à l'exo 1 est fausse ! Very Happy

Je regarderais ce soir ta réponse pour l'exo 2 :p
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 17:41
Bon dans ce cas pour la 1


Spoiler:

On tire une carte blanche d'un coté on veut que l'autre coté soit blanc aussi, donc on cherche la carte blanche des deux cotés
Donc 1/3

J'hésitait entre ça et la réponse que j'ai posté plus tôt.

Surtout qu’après réflexion, c'est ce qui est le plus logique.

Par contre si c'est pas ça, j'ai plus aucune idée    silent
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 22:18
La réponse est correcte mais la justification est pas celle "attendue" mais c'est OK Very Happy
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