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différence, complémentaire, inclusion

le Sam 30 Avr - 18:47
Bonjour,

on définit la différence de deux ensembles A\B l'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B.

Dans le cas d'une inclusion B dans A, on est en présence du complémentaire de B dans A, (ce qui revient au même) sauf que dans ce dernier cas B est un sous ensemble de A.

A$\neq$B est-il vrai dans les deux cas ?

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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Sam 30 Avr - 19:16
$B \subset A \neq> B \neq A$

D'ailleurs une preuve classique en maths pour montrer que deux ensembles A et B sont égaux : On montre tout d'abord que $B \subset A$ puis que $A \subset B$
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Sam 30 Avr - 19:39
Montrer que A$\neq$B quand x$\in$ A\B ou que x$\in$ B\A se fait en raisonnant sur la définition du complémentaire ?
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Dim 1 Mai - 12:06
Je n'ai pas vraiment compris ta dernière question @Piok.

Pour montrer que deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, on montre souvent (en deux étapes) que $A\subset B$ ET que $B\subset A$. Ça, c'est ce que disait @PouletAtomique.
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Lun 2 Mai - 21:19
Bonjour,

en fait j'essaie de me familiariser avec les raisonnements et les démonstrations et pour ça apprendre à me servir des hypothèses d'inclusion, d'union, d'intersection, complémentaire ...etc... mais sans exemples précis c'est assez flou.

D'accord pour l'égalité de deux ensembles qui suppose la démonstration de deux inclusions,
je peux toujours m'y essayer...

par contre si on peut m'éclairer sur l'inclusion stricte qui suppose inclusion et différence ?

Déjà au départ quel en est le symbole ? j'ai l'impression d'après ce que je peux voir ici ou là que c'est assez variable: $\subset$ , ou alors avec $\subset$ mais + un trait barré en-dessous (quand ce n'est pas 2, ou 3) ?...comment savoir à quoi j'ai affaire ?..problème  

merci
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Lun 2 Mai - 21:38
Salut Piok,

Oui c'est une bonne chose de voir ce genre de raisonnement.

Petite remarque pour commencer, sur ce que tu as dit à la fin. En maths, les notations peuvent changer dès qu'on change de bouquin, de site, de personne, de pays. C'est donc normal de ne pas avoir toujours les mêmes notations. Les notations sont toujours introduites à un moment ou un autre dans l'ouvrage que tu utilises (sauf si la personne n'est pas rigoureuse).

En revanche, il y a quand même certaines notations "usuelles" ou juste davantage employées que d'autres. En ce qui concerne l'inclusion, on pourra écrire (en France) $A\subseteq B$ pour dire "$A$ est inclus dans $B$ ou $A=B$" ; à l'aide de quantificateurs, $A\subseteq B$ signifie "$\forall x, x\in A\implies x\in B$". On écrira $A\subsetneq B$ pour dire "$A$ est strictement inclus dans $B$", autrement formulé : "$A$ est inclus dans $B$ et $A$ est différent de $B$".
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Lun 2 Mai - 21:51
Super ! merci Smile
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le Mar 3 Mai - 21:48
Je cherche à démontrer la conjonction des deux propriétés de l'union de deux ensembles A et B qui est que le plus petit ensemble contient à la fois ces deux ensembles : [A $\subseteq$  A$\cup$B et B $\subseteq$ A$\cup$B]
et [(A $\subseteq$ C et B $\subseteq$ C) $\Rightarrow$ A$\cup$B $\subseteq$ C]

Soit x un élément de A$\cup$B, x $\in$ A ou  x $\in$ B
A $\subseteq$  A$\cup$B et B $\subseteq$ A$\cup$B par hypothèse,

on a A $\subseteq$ A comme un sous-ensemble de lui-même et B $\subseteq$ B comme un sous-ensemble de lui-même

d'où par seconde hypothèse on a A $\subseteq$ C et B $\subseteq$ C

donc on a A$\cup$B $\subseteq$ C

après je ferai les propriétés de l'intersection pour finir par la démonstration de la double inclusion d'une égalité de deux ensembles puisque c'est ce sur quoi je travaille maintenant.

Mais avant d'en arriver là déjà savoir si ce qui précède est bon Rolling Eyes

merci Smile
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Mer 4 Mai - 11:15
Salut,
Que veux tu montrer ?
$[A \subset A \cup B\text{ et } A \subset A \cup B]$ est vrai par définition de l'union.
Pour $[(A \subset C \text{ et } B \subset C) \Rightarrow A \cup B \subset C]$, tu dois le montrer comme suit : tu supposes que $A \subset C$ et $B \subset C$ et tu dois montrer que $A \cup B \subset C$, c'est à dire tu prends un $x \in A \cup B$ et tu montres que $x \in C$. Il n'y a presque rien à écrire pour cela.
Du coup je ne comprend pas ce que tu fais, c'est peut être juste mais en tout cas c'est très (trop) flou.

Applique le schéma de démonstration que je t'ai indiqué, et ça devrait aller tout seul Smile
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Jeu 5 Mai - 19:37
Salut Curry

je cherche à montrer

[(A $\subseteq$ C et B $\subseteq$ C)
$\Rightarrow$ A$\cup$B  $\subseteq$ C]

Soit x $\in$ A$\cup$B, x $\in$ A ou x $\in$ B

si par hypothèse donnée A $\subseteq$ C $\Rightarrow$ A est sous-ensemble de C, et si B $\subseteq$ C $\Rightarrow$ B est sous-ensemble de C

$\forall$ x $\in$ A, x $\in$ C
$\forall$ x $\in$ B, x $\in$ C

Donc A$\cup$B  $\subseteq$ C
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Jeu 5 Mai - 20:26
Beh t'as $A \subset C$ et $B \subset C$ don les éléments dans A sont aussi dans C et les éléments de B sont aussi dans C

Les éléments de A U B c'est les éléments soit dans A soit dans B soit dans les deux donc ils sont également dans C et voilà
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Jeu 5 Mai - 20:37
Salut Piok et PA,

Piok, je pense que tu as compris, mais la formulation est bizarre. PA, Piok veut montrer ça très rigoureusement en fait.

Tu veux montrer que $(A\subseteq C\mbox{ et } B\subseteq C)\implies A\cup B\subseteq C$.

Démontrons-le.

Supposons que $(A\subseteq C\mbox{ et } B\subseteq C)$. Nous voulons montrer que, sous cette hypothèse, $A\cup B\subseteq C$. Pour cela, montrons que pour tout $x\in A\cup B$, $x$ appartient à $C$. Soit $x\in A\cup B$. Ainsi, $x\in A$ ou $x\in B$. Si $x\in A$, alors $x\in C$ car $A\subseteq C$ par hypothèse. Si $x\in B$, alors $x\in C$ car $B\subseteq C$ par hypothèse. Ainsi, $x\in C$. $x$ avait été choisi arbitrairement, donc pour tout $x\in A\cup B$, $x$ appartient à $C$. Donc, $A\cup B\subseteq C$.

Ainsi, $(A\subseteq C\mbox{ et } B\subseteq C)\implies A\cup B\subseteq C$.

Bon, j'ai beaucoup détaillé Laughing
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Ven 6 Mai - 9:12
Salut, merci ProfJ Wink

bin oui, justement, j'essaie d'éviter les approximations puisque la démonstration se construit d'une déduction à une autre. Maintenant c'est vrai aussi que la frontière entre tautologie et démonstration est floue, et c'est là qu'on s'y perd...savoir ce qui doit être dit et ce qu'il n'est pas indispensable de dire pour le raisonnement. Je ne parle pas "d'acquis" ici, mais bien de repérer les tautologies et autres  redondances inutiles pour les éviter.

Pour paraphraser ce cher Boileau :" Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire se trouvent aisément "... Pour un mathématicien confirmé peut-être mais pour un non-initié ça passe par un apprentissage Smile


Dernière édition par piok le Ven 6 Mai - 19:34, édité 1 fois
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Ven 6 Mai - 13:48
Salut Piok,

Il ne faut pas perdre à l'esprit que les mathématiques et les sciences à plus forte raison sont basées sur le principe du moindre effort, il est donc inutile de faire une grosse démonstration rigoureuse pour un truc "trivial" ou du moins vrai au premier coup d’œil !

Après c'est sûr c'est plus pédagogique de faire ce genre de démos mais il doit y avoir des exos plus intéressants..
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Ven 6 Mai - 19:26
Réputation du message : 100% (1 vote)
J'taime bien PA tu me fais marrer  cheers  je me doute bien qu'il y a des tas de trucs sans doute plus intéressants, mais justement, entre "intérêt" et "intéressant" il y a tout un monde...et faut bien passer la frontière avant...quelque part...Or moi je suis encore nulle part alors j'essaie de trouver des repères ! ( c'est le mot juste  Wink )

Maintenant pour apprendre à raisonner avec justesse et rigueur, bref, entrer dans l'intimité des maths comme on entre dans l'intimité d'un auteur, ou dans l'oeuvre de toute une vie d'un artiste, que me conseilles-tu de faire ? Si tu peux me faire gagner un temps précieux je suis preneur.
La fée des mathématiques ne s'est pas penché sur mon berceau, je ne suis pas doué mais je my intéresse, autant dire que le principe du moindre effort n'est hélas pour moi d'aucun bénéfice, je suis un besogneux et le resterai ad vitam aeternam, en plus je suis curieux de tout ce qui n'arrange rien à l'affaire...Mais soit !

Je vais regarder du côté du raisonnement par récurrence, c'est vrai que j'aimais bien...je vais essayer de faire des "trucs" avec ça, comme c'est tout ce qui concerne $\mathbb{N}$ c'est pas mal! Dans le fond ça peut bien se compléter avec les ensembles que je continue de toutes façons.
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Ven 6 Mai - 20:23
Demain j'ai partiel, mais ce week-end j'essaierais de te donner des pistes de travail ! Very Happy

Bon courage Wink
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Ven 6 Mai - 23:33
cool Cool

merci
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Sam 7 Mai - 19:58
Tu devrais essayer les démonstrations par récurrence, y'a pas mal d'exos niveaux terminale qui sont pas mal Smile
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Dim 8 Mai - 10:27
Salut PA,

ok, c'est inscrit au programme, j'essaierai des trucs simples pour commencer et voir où j'en suis exactement :  

Donc j'irai de très mollo à crescendo...et plus si affinités, comme on dit Cool  

Bien sûr, à côté de ça je continue à travailler et raisonner sur les " ensembles "
(ça va bien finir par donner quelque chose quand même !! bounce )

merci Wink
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Re: différence, complémentaire, inclusion

le Dim 8 Mai - 10:44
Après l'essentiel c'est que t'y trouves du plaisir, donc si t'aimes faire des exos sur les ensembles continues Very Happy
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