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Posteur Motivé
Posteur Motivé
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Trouver la loi d'une variable aléatoire

le Sam 23 Avr - 19:55
Bonsoir,

je voudrais connaitre la méthode pour déterminer la loi d'une variable aléatoire.

Par exemple
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi respective : loi exponentielle de paramètre lambda et loi exponentielle de paramètre mu
Quelle est la loi de min(X,Y)

ou encore
à tout réel $x\geq 0$ on associe l'entier "partie entière par excès de x" = inf{k$\in \mathbb{N} \quad x \leq k$}.
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1.
Quel est la loi de "partie entière par excès de X"

Désolé, je ne connais pas le code LaTeX pour partie entière ...

Merci !
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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1935
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Re: Trouver la loi d'une variable aléatoire

le Sam 23 Avr - 20:50
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut, pour la variable aléatoire $min(X,Y)$, je te propose de regarder :

$$P(min(X,Y)>x)$$

Or, $min(X,Y)>x$ si et seulement si $X>x$ et $Y>x$, donc

$P(min(X,Y)>x)=P((X>x)\cap (Y>x))=P(X>x)P(Y>x)$

La dernière égalité vient de l'indépendance des variables.

Je te laisse chercher la suite...
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 57
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Re: Trouver la loi d'une variable aléatoire

le Sam 23 Avr - 21:00
Bonsoir Prof

Je continue .... :

$P(X>x)P(Y>x) = e^{-\lambda x}e^{-\mu x}=e^{-x(\lambda + \mu)}$

c'est donc une loi exponentielle de paramètre $\lambda+\mu$

est-ce cela ?

et pour le suivant peux-tu m'aider à démarrer également stp ?
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