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Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 18:52
Bonjour,
Je cherche à résoudre cette équation :

y'' + xy' + y = 1

Je cherche donc une solution développable en série entière de la forme $y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

j'arrive à la relation de récurrence suivante :
$\forall n  \geq 1 \qquad (n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_n=0$

J'en déduis que $a_{n+2}=\frac{-1}{n+2}a_n$

Après je suis bloqué ... Je sais qu'il faut distinguer les cas pairs et impairs mais je ne vois pas comment faire.

Merci !
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 18:56
Qu'en est-il de tes conditions initiales ?
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 18:59
qu'appelles-tu conditions initiales ? du style y(0) = ... si c'est ça il n'y en a pas
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 19:03
Bah normalement il te faut des conditions initiales pour arriver justement à distinguer chaque cas
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 19:09
Du coup je suis en train de le faire et ta relation de récurrence est fausse car ton équation c'est y'' + xy' + y = 1

et non pas y'' + xy' + y = 0

Donc t'as pas (n+2)(n+1)an+2+(n+1)an=0
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 19:16
tu es sûr ? je n'en ai pas eu besoin dans les précédents, d'habitude je calcule les premiers termes de la relation et je trouve une expression de $a_{2n}$ et $a_{2n+1}$ mais là je ne vois pas ..

Je te mets ce que je trouve :

$a_3 = \frac{-1}{3}a_1$
$a_4 = \frac{-1}{4}a_2$
$a_5  =\frac{-1}{5}a_3 = \frac{1}{9}a_1$
$a_6 = \frac{-1}{6}a_4 = \frac{1}{24}a_2$
$a_7 = \frac{-1}{7}a_5=\frac{-1}{63}a_1$
$a_8 = \frac{-1}{8}a_6=\frac{-1}{192}a_2$

donc je pense que ce sera de cette forme là
$a_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}}{....}$


$a_{2n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{...}$
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 19:20
zut pas vu ton message avant de poster ....
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 19:23
j'ai bien $2a_2+a_0 = 1$ pour n < 1 et ma relation de récurrence est vrai pour n >=1 nan ?
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 20:01
Non je ne suis pas d'accord avec toi.

Jvais essayer d'être plus clair et tu me dis si t'es d'accord ou pas.

T'as cette équation à résoudre :

y"+xy'+y=1

Tu sais que y(x) est de la forme $\sum a_n*x^n$

Donc y"vaut $\sum (n+2)(n+1)a_n_+_2*x^n$

et xy' vaut $\sum n*a_n*x^n$


Ok tu regroupes tout dans une même somme et tu as

$\sum truc$ =1

Or si on avait eu à résoudre y"+xy'+y=0

En mettant sous la même somme on aurait bien eu

$(n+2)(n+1)a_n_+_2 + (n+1)*a_n=0$

Mais là c'est =1 donc ta relation de récurrence est fausse je pense


Dis moi ce que tu en penses.


Dernière édition par PouletAtomique le Jeu 21 Avr - 11:42, édité 1 fois
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 20:02
Chez moi le Latex bug un peu, j'espère que mon message est lisible


Dernière édition par PouletAtomique le Jeu 21 Avr - 11:41, édité 1 fois
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mer 20 Avr - 20:23
tu as oublier dû un symbole dollar Wink

Je te met ce que j'ai fait

$y = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \Longrightarrow y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\Longrightarrow y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$

On introduit dans l'équation :
$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+x\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=1$

$\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=1$

$2a_2+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n}+a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=1$

$2a_2+a_0+\sum_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)a_{n+2}+na_n+a_n]x^n=1$

Par unicité du développement en série entière :
$2a_2+a_0=1$

$(n+2)(n+1)a_{n+2}+na_n+a_n=0$
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Jeu 21 Avr - 16:10
Je vois pas trop ce qui te permet de dire que 2a2 +a0 =1
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Jeu 21 Avr - 16:19
C'est l'unicité du développement en série entière

les termes de degré 0 à gauche et à droite sont égaux d'où 2a2 + a0 = 1
les termes de degré 1 à gauche et à droite sont égaux ... 0=0
les termes de degré n à gauche et à droite sont égaux d'où (n+2)(n+1)an+2+n an+an=0
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Re: Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

le Mar 26 Avr - 19:48
Bah pour obtenir la relation de récurrence c'est facile en fait

Tu fais deux colonnes, à gauche les pairs et à droite les impairs par exemple

Tu as : $a_2=-\frac{1}{2}*a_0$

D'où $a_4=-\frac{1}{4}*a_2$ or $a_2=-\frac{1}{2}*a_0$ d'où $a_4=-\frac{1}{4}*-\frac{1}{2}*a_0$

etc en gardant le $a_0$

Tu obtiens $a_2p$=$\frac{(-1)^{p}}{2^{p}*p!}*a_0$

De la même manière tu obtiens $a_2_p+1$=$\frac{(-1)^{p}*2^{p}*p!}{(2p+1)!}*a_1$

C'est une équation du second ordre donc les solutions sont un espace vectoriel de dimension 2 donc de la forme $\alpha k(x) + \beta z(x)$


Donc pour trouver ta solution particulière tu fixes par exemple $a_1=0$ et $a_0=1$ (faut juste que ta série soit de rayon de convergence non nul)

En faisant ça tu obtiens une série  k(x)=$\sum_{p=0}^{inf} \frac{(-1)^{p}}{2^{p}*p!}*x^{2p}$

et ça c'est exponentielle de truc

Pour trouver ton autre solution , tu fixes cette fois ci $a_0=0$ et $a_1=1$ et t'obtiens une nouvelle série moche que je connais pas qu'on note z(x)


Et donc tu as y(x) = $\alpha k(x) + \beta z(x)$
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