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Toujours dans les ensembles,

le Lun 21 Mar - 17:21
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Salut les profs Wink

comme j'ai décidé de persévérer malgré tout, je voudrais être sûr de bien comprendre ce qui suit

" représenter les sous ensembles de $\mathbb{R^2}$ suivants :

(]0,1[ U [2,3[) X [-1,1]

($\mathbb{R}$\ (]0,1[ U [2,3[) X (($\mathbb{R}$\ [-1,1]) $\cup$ [0,2]) "


Alors d'une part , quelle est la signification exacte des crochets ouverts fermés ?  
et d'autre part, le signe " \ " veut-il dire ici "privé de " ?

Merci
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Lun 21 Mar - 17:38
Réputation du message : 100% (1 vote)
En gros ton ensemble [0,1] c'est les points entre 0 et 1

]0,1[ c'est pareil mais avec 0 et 1 exclus

Et oui la barre signifie privé de
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Lun 21 Mar - 21:27
Tu nous diras si ce que PA a dit t'a éclairé Smile
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 22 Mar - 14:10
merci pour les réponses

je comprends la réponse de PA à ma question sur la signification de l'intervalle fermé [ ]  {0 $\leq$  x $\leq$ 1} alors que l'intervalle ouvert ] [ désigne strictement plus grand ou strictement plus petit puisque 1 et 0 sont exclus (c'est du moins comme ça que je le comprends sinon ça n'a pas de sens), quand aux mixtes [ [   et  ] ]  j'en conclus que dans le premier cas (bleu) c'est $\leq$  $<$ et dans le second cas (orange) c'est le contraire $<$ $\leq$, quand au slash inverse c'est bien la différence, donc "privé de" (je m'en doutais mais dans ce domaine n'étant sûr de rien, je voulais être sûr).

maintenant concernant l'exercice, je n'identifie pas très bien à quoi j'ai affaire exactement.

Si j'ai un produit cartésien j'ai deux ensembles A et B où AXB est l'ensemble des couples (x, y) avec x $\in$ A et y $\in$ B auquel cas il me faut déterminer |A| et |B| pour arriver à |A|X|B|,  

mais ici : (]0,1[ U [2,3[) X [-1,1]  j'ai une union de deux ensembles dans la parenthèse, il y a donc un troisième ensemble d'élément z, donc trois ensembles A B C avec x$\in$A, y$\in$B, z$\in$C, c'est ça ?  

Il faudra donc que je détermine AUB entre parenthèse avant, pour faire le produit cartésien avec l'ensemble C càd AUB X C.

Faudra-t-il "représenter les sous-ensembles de $\mathbb{R^2}$ " par un diagramme de Venn ?
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 22 Mar - 16:39
voilà comment je verrais les choses

" représenter les sous ensembles de $\mathbb{R^2}$ suivants :

(]0,1[ U [2,3[) X [-1,1] "




A = { x$\in$  $\mathbb{R}$ | 0 < x < 1}

B = { y $\in$  $\mathbb{R}$ | 2 $\leq$ y < 3 }

C = { z $\in$  $\mathbb{R}$ | -1 $\leq$ z $\leq$ 1 }

A U B X C = { 0,1,2,3 } X { -1,1 } = E { -1,O,1,2,3 } = { z,x,zx,y }

E = (AUB) (A$\cap$C)
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 22 Mar - 19:17
Je pense que l'exercice te demande une représentation graphique Smile
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 22 Mar - 19:54
Par des points de coordonnées cartésiennes avec des valeurs x, y alors...donc ce que j'ai fait n'est pas correct
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 22 Mar - 21:30
Avant de faire cet exercice, es-tu capable de représenter graphiquement des intervalles ?

Par exemple, peux-tu représenter :
- $]0;1[$ ?
- $[2;3[$ ?
- $[-1;1]$ ?

Tu peux commencer à les représenter sur trois dessins différents. Ensuite tu pourras passer à l'union et l'intersection Smile
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 10:36
Bonjour. Je soumet ce poste à la relecture attentive des autres membres si ils le peuvent dans le cas ou une erreur se serait glissée entre ces lignes.
Pour comprendre la notion d'intervalle, il faut définir la première de toutes, celle d'unité.
Si l'on jette un oeil du côté de l'encyclopédie Quillet de 1965, en première page du chapitre consacré à l'Arithmétique, on peut lire ceci :

"Nous pouvons nous demander combien il y'a de lettres dans un mot, de moutons dans un troupeau ou d'objets dans une collection. Pour évaluer, par exemple, la quantité de billes contenues dans un sac, nous pouvons les sortir une à une du sac, nous obtenons successivement des groupes de billes dont chacun est plus grand que le précédent d'une bille ou de "une unité" [...] On appelle unité chacun des objets d'une collection."
On comprend ici que l'unité dans un cas donné est arbitraire, dans un tas de pommes, nous pouvons choisir la pomme comme unité aussi bien que nous pourrions choisir le car de pomme. Dans le cas d'un ensemble l'unité peut être de quelque nature que ce soit aussi bien la pomme, que le nombre ou que le quart d'étoile, la notion d'intervalle est plus restrictive, un intervalle est un ensemble de nombres réels, c'est à dire, des entiers, des décimaux, des nombres positifs, nuls ou négatifs. Dans le cas d'un intervalle on se doit de définir deux réels que l'on note a et b par exemple qui encadrent tous les nombres contenus dans l'intervalle, et tous les réels encadrés par a et b sont compris dans l'intervalle, ainsi dans l'intervalle encadré par les nombres 0 et 2 il y a une infinité de nombres mais aussi d'intervalles, il y'a l'intervalle encadré par les nombres 0 et 0,9 par exemple ou par les nombres 1,4 et 1,7 qui eux mêmes comprennent une infinité de nombres et d'intervalles. C'est ce qui différencie un intervalle d'un ensemble qui ne contiendrait que des nombres, un ensemble de nombres peut être un intervalle, l'ensemble des nombres réels par exemple et inversement.

On ne peut donc pas écrire toutes les valeurs qui font partie d'un intervalle, on ne peut que donner les deux nombres qui encadrent ces valeurs. On utilise pour cela la notation en "crochet", pour un intervalle encadré par les réels a et b tel que pour tout x qui appartient à l'intervalle a <= x <= b on notera l'intervalle [a,b] ou [a;b].
Un crochet ouvert du côté d'un des deux réels revient à dire qu'aucun élement de l'intervalle ne lui est égal, ainsi l'intervalle ]a;b] contient tous les nombres x tels que aIl est également possible de préciser que les nombres compris dans l'intevalle peuvent être aussi grand, ou à l'inverse petit que l'on veut en remplacant l'un, ou les deux réels a et b par le lemniscate, le symbole de l'infini :
J'écrirais la suite de ce message d'ici peu.
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 11:08
Salut,
Je ne vois pas le rapport entre unité et intervalle ?
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 11:18
@Curry a écrit:Salut,
Je ne vois pas le rapport entre unité et intervalle ?

Bonjour.
Un intervalle étant constitué d'une infinité d'unité qui sont des nombres, j'ai choisi de définir le concept d'unité pour ne laisser aucun doute à la notion d'intervalle qui n'a comme unité que des nombres alors qu'un ensemble peut avoir des unités d'une autre nature.
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 11:47
salut Lavoisier,

merci de ces précisions, c'est pas inutile de le rappeler en ce qui me concerne,
(même si le Quillet 1965 ça fait un intervalle de temps assez conséquent Laughing Wink)

voilà des échanges qui ne peuvent qu'être intéressants pour moi car ils me permettent de mieux comprendre des subtilités que je ne perçois pas toujours...

j'ose mettre ici le fruit de mes pauvres errances, je dis ça parce-que même le peu que je croyais connaître a fondu comme neige au soleil, j'ai failli laisser tomber l'auto-recyclage que je m'étais donné mais comme ici on sait encourager dans les moments de blues mathématique, je me dis que ça vaut la peine de continuer. Il n'y a pas de honte à apprendre il y en aurait seulement à se décourager.


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et aussi ça :


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Merci Very Happy
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 12:53
Piok : Le premier dessin est ok, bien que je ne comprennes pas ce que signifie $\{ \mathbb{R}x \}$.
Pour le second, c'est confus et faux. Tu dis que $A \cup B = \{0,1,2,3\}$ ? Représente (sur ton image 1) ce qu'est $A \cup B$.
Ensuite on passera au produit $A \cup B \times C$.

Lavoisier : Qu'entends tu par "un intervalle est constitué d'une infinité d'unités" ? En fait je ne comprend pas ce qu'est une unité pour toi. Pour moi on parle de L'unité, qui est le nombre 1.
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 13:17
salut Curry,
oui je reconnais que le second est assez cacafouillis, quand au premier je suppose que j'aurais dû mettre { x $\in$  $\mathbb{R}$ } mmh ? (quand je l'ai vu tout était écrit, photographié, hébergé et j'ai eu la flegme de tout recommencer Embarassed), mais j'aime et j'apprécie cette rigueur Cool

@Curry a écrit:Piok : Le premier dessin est ok, bien que je ne comprenne pas ce que signifie $\{ \mathbb{R}x \}$.
...Représente (sur ton image 1) ce qu'est $A \cup B$.
Ensuite on passera au produit $A \cup B \times C$.


Okay, je vais faire ça

Merci
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Jeu 24 Mar - 17:51
bin non...je ne sais pas faire ça...

ne pouvant pas noter l'intervalle [ 0,1 ] et l'intervalle [ 2,3 [ comme ensemble d'éléments distincts et définis, je vois mal comment je peux les représenter graphiquement  No

A=[0,1] et B=[2,3[ la réunion des intervalles AUB est l'ensemble des réels qui appartiennent à A ou à B

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Re: Toujours dans les ensembles,

le Ven 25 Mar - 9:25
Salut Piok !

Je n'ai pas tout lu car pas trop de temps, mais sur ton dernier dessin, tu as bien représenter l'union des deux intervalles Smile

Petites remarque :

1/ Pas la peine de mettre le symbole $\cup$ au milieu
2/ Pour préciser si l'intervalle est ouvert ou fermé, tu peux dessiner les crochets.
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Ven 25 Mar - 15:03
Bonjour

j'ai refait le schéma suivant qui me semble plus juste, maintenant est-ce qu'il répond complètement à ce qui est demandé...Question






merci
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Sam 26 Mar - 19:13
Salut Piok,

Déjà, j'ai quelques remarques sur ta rédaction. Je t'explique sur ta première ligne, et tu corrigeras les autres par analogie. Tu as écrit :

$A=]0;1[$ tel que $0 < x < 1$.

L'écriture $A=]0;1[$ signifie "$A$ est l'ensemble des nombres réels compris (strictement) entre $0$ et $1$". Donc, ton expression "$A=]0;1[$ tel que $0 < x < 1$" signifie "L'ensemble des nombres compris entre $0$ et $1$ (strictement) tel que $0 < x < 1$". Ce qui n'a pas vraiment de sens ! Soit tu écris $A=]0;1[$, soit tu écris "$A$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $0 < x < 1$", soit encore $A=\{x\in\mathbb{R} | 0 < x < 1\}$. Ici, la barre $|$ est un symbole signifiant "tels que".
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Sam 26 Mar - 19:38
Salut Prof

oui je m'en doutais et figure-toi que je pensais mettre effectivement | pour tel que comme je le faisais pour les ensembles sous accolades {} mais au dernier moment j'ai pensé qu'avec les intervalles crochets ça ne se faisait peut-être pas alors je l'ai écrit ne sachant pas que les intervalles suffisaient  Rolling Eyes...
j'assure mal la syntaxe mathématique, mais à force de pratique et de bons conseils je vais prendre plus d'assurance Wink

merci de tes observations, ces détails sont très importants pour bien communiquer et se comprendre

J'en profite pour te souhaiter, ainsi qu'à tous, une bonne fête de Pâques Very Happy
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Sam 26 Mar - 20:52
Effectivement, bonne fête de Pâques Very Happy

Sinon, en ce qui concerne les représentations graphiques, quand je te disais d'écrire les crochets, c'était de cette façon :



(J'ai piqué l'image sur internet)
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Dim 27 Mar - 19:12
merci pour l'exemple, c'est clair et aide à bien comprendre Smile , je vais maintenant essayer de faire le suivant
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Lun 28 Mar - 11:48
bonjour,

Est-ce correct de réécrire ceci

($\mathbb{R}$\ (]0,1[ $\cup$ [2,3[) X (($\mathbb{R}$\ [-1,1]) $\cap$ [0,2])

de cette façon ?

($\mathbb{R}$\ ]0,1[) $\cup$ ($\mathbb{R}$\[2,3[) X ($\mathbb{R}$\ [-1,1])

$\cap$ ($\mathbb{R}$\ [0,2])

désolé mais impossible d'avoir le LaTex pour la seconde partie ?? Rolling Eyes
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Lun 28 Mar - 20:56
Salut Piok, avant d'attaquer un gros exemple comme celui-ci, as-tu essayé des cas simples pour l'union et l'intersection ?
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 29 Mar - 11:05
salut Prof

pas vraiment non, n'ayant que très peu de repères et de références, je ne sais plus trop à quoi j'ai affaire et tout se mélange un peu :

les ensembles avec accolades, les intervalles avec crochets, le produit cartésien $\mathbb{R}$ X $\mathbb{R}$, ou [0,1] X $\mathbb{R}$, la droite des réels pour représenter les intervalles, les diags de venn pour représenter  les unions et intersections sur les ensembles, le signe \ "privé de" qui opère la différence entre deux ensembles A\B sauf qu'ici c'est $\mathbb{R}$ \ "privé de" de deux intervalles unis ou intersectés...etc

Pourtant ça m'intéresse vraiment d'approfondir ce sujet, mais là c'est clair que je patauge grave, (encore que ce n'est pas ça le plus embêtant car c'est toujours chercher), mais le plus dur c'est de ne pas arriver à établir les liens qui me permettraient au moins d'intégrer et progresser par moi-même. Le problème quand on est autodidacte, (du moins simple curieux passionné), c'est qu'on est constamment obligé de se faire les questions et les réponses...et les questions il y en a tellement pour si peu de réponses que je ne connais pas et auxquelles je ne peux pas répondre...
Mais je ne peux et ne veux pas non plus prendre trop de temps aux profs du site pour ce qui pourrait leur paraître sinon inutile du moins secondaire par rapport à d'autres demandes plus urgentes (et sans doute plus intéressantes), je te remercie donc encore une fois de ton conseil et ton soutien, c'est vraiment sympa et généreux.  

Simplement, et pour répondre à ta suggestion, peux-tu m'écrire les exercices types auquel tu penses qui pourraient effectivement m'aider à mieux cerner, comprendre, travailler et résoudre les autres ?

merci  Wink
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Re: Toujours dans les ensembles,

le Mar 29 Mar - 16:14
Oui, je pense que c'est important que quelqu'un te dise dans quel sens aller. Car on s'égare vite !

Par exemple, peux-tu représenter les ensembles suivants (sur des dessins différents) :

- $]-1;2]\cup[3;5]$
- $]-3;5]\cup[4;6]$
- $]-1;2]\cap[3;5]$
- $]-3;5]\cap[4;6]$

On pourra ensuite passer à plus compliqué Smile
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