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Arithmétique sur les polynômes

le Dim 13 Mar 2016 - 23:05
Salut,
Comment déterminer le reste des divisions euclidiennes de ce type :
Xn+Xn-1 par X2+X+1
J'ai fais 2 3 essais qui ne mènent rien de concret.
Merci
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Re: Arithmétique sur les polynômes

le Lun 14 Mar 2016 - 8:25
Salut,

Un petit indice : que vaut $(X^2+X+1)(X^{n-2}+X^{n-3})$
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Re: Arithmétique sur les polynômes

le Lun 14 Mar 2016 - 10:31
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut
Xn+Xn-1 par X2+X+1
C'est comme Xn plus Xn moins un multiplié par (un divisé par X2+X+1)
et la tu peux utiliser le fait que l'inverse d'un nombre n à la puissance x soit le nombre n à la puissance moins x
je n'ai plus de numpad :p
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Re: Arithmétique sur les polynômes

le Lun 14 Mar 2016 - 11:23
Attention Lavoisier, ce n'est pas ça qu'il demande ici, il parle bien d'une division euclidienne de polynômes (je ne pense pas que tu connaissances pour le moment la définition de cette division euclidienne Smile ).
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Re: Arithmétique sur les polynômes

le Lun 14 Mar 2016 - 19:51
La méthode retenue est la suivante :
On pose $X^{n}+X^{n-1}=(X^{2}+X+1)Q(x)+aX+b$ (Théorème de la division euclidienne)
On cherche les racines de B(x) : Ici les racines de $(X^{2}+X+1)$ sont j et j²
On a alors $j^{n}+j^{n-1}=aj+b$ 
On étudie les cas où n=3p , n=3p+1 , n=3p+2
On trouve a et b dans chaque cas 
Voilà merci !
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Re: Arithmétique sur les polynômes

le Mar 15 Mar 2016 - 9:07
Oui c'est la méthode pour trouver à tous les coups.
Tu t'en es sorti avec ça ?
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