Accueil du forum
Bienvenue sur le forum de Maths en Direct !

Pour discuter en direct avec les professeurs ou le reste de la communauté, il suffit de s'inscrire. Vous aurez ensuite accès à tous les services de Maths en Direct gratuitement ! N'hésitez pas à proposer votre aide.

Connexion
Statistiques
Nous avons 951 membres enregistrésL'utilisateur enregistré le plus récent est gildasNos membres ont posté un total de 6486 messagesdans 703 sujets
Qui est en ligne ?
Il y a en tout 11 utilisateurs en ligne :: 1 Enregistré, 0 Invisible et 10 Invités

BetaSauvage

Voir toute la liste

Aimez notre page Facebook !
Les posteurs les plus actifs du mois
8 Messages - 40%
7 Messages - 35%
5 Messages - 25%
Les posteurs les plus actifs de la semaine
7 Messages - 70%
2 Messages - 20%
1 Message - 10%
Partagez
Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
avatar
Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Messages : 151
Voir le profil de l'utilisateur

Nombres entiers naturels

le Dim 7 Fév - 12:22
Réputation du message : 100% (1 vote)
bonjour,

j'ai une question concernant les entiers définis selon les axiomes de G.Peano.

Le premier axiome qui dit que 0 est un nombre reste pour moi obscur car je ne comprends pas comment de ce qui est un nombre nul comme prédécesseur on peut conclure à une succession n+1. Il faut déjà que le 1 soit préexistant même en tant que concept pour que de 0 qui est un nombre nul on ajoute 1.  

J'imagine que c'est sans doute référé à une considération ensembliste de l'élément vide comptant pour 1, mais quand bien même j'ai du mal alors à entrer dans la logique opératoire additive de succession naturelle à partir d'un élément vide.Dans un cas on détermine 1 de ce qui est "nul", et dans l'autre on le détermine de ce qui est "vide", ça ne m'apparaît pas beaucoup plus cohérent.  

alors mon erreur, (puisqu'ici je ne peux que me tromper), est-elle dû au fait que je reste dans un rapport quantitatif (nul), plutôt que qualitatif (vide) ? mais n'est-ce pas la définition que l'on donne des entiers naturels N : Les nombres dont on se sert pour compter, 0,1,2,3,4...

Par contre je comprends sans problème la succession dans N* qui regroupe les entiers strictement positifs 1,2,3,4...,n, n+1 qui m'apparaît tout à fait cohérent : 1+1, 2+1, 3+1...mais alors N* ne serait plus un sous-ensemble de N qui à la limite serait lui composé uniquement de 0 nombre nul et 0 ensemble vide d'où il ne peut rien sortir, donc nécessairemment sans la propriété d'être prédécesseur...Voyez dans quel cafouillis je suis ! scratch  

J'ai un rapport de simple curiosité amateur aux nombres aussi pouvez-vous me dire où ça bloque s'il vous plaît et si possible sans entrer dans une syntaxe mathématique trop hermétique pour mon niveau qui est moins que fort.

Du reste toute indication de livres ou cours sur la théorie des nombres d'un niveau commençant qui soit suffisamment pédagogique pour donner envie de progresser sera bienvenue

merci
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1992
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Nombres entiers naturels

le Dim 7 Fév - 21:21
Salut Piok,

Je pense qu'il vaut mieux faire ça tranquillement, pas à pas. Tu as l'air vraiment intéressé, et il s'agit de questions "sympathiques", comme je te le disais la dernière fois. Mais on voit bien, que tu es dans un certain "cafouillis" pour reprendre tes mots.

Commençons par :

@Piok a écrit:Le premier axiome qui dit que 0 est un nombre reste pour moi obscur car je ne comprends pas comment de ce qui est un nombre nul comme prédécesseur on peut conclure à une succession n+1. Il faut déjà que le 1 soit préexistant même en tant que concept pour que de 0 qui est un nombre nul on ajoute 1.  

Avant de t'apporter un bout de réponse, j'ai deux questions. As-tu bien compris c'est qu'un axiome ? Quelle est ta référence actuelle pour ces axiomes ?

Pour te répondre, je vais me servir de ceux-ci (copiés/collés de Wikipedia) :

Wikipedia a écrit:La définition axiomatique des entiers naturels de Peano est usuellement décrite informellement par cinq axiomes :

1. L'élément appelé zéro et noté $0$, est un entier naturel.
2. Tout entier naturel $n$ a un unique successeur, noté $s(n)$ ou $Sn$.
3. Aucun entier naturel n'a $0$ pour successeur.
4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient $0$ et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à $\mathbb{N}.

Je pense que ton problème vient du fait que tu ne saisis pas le sens de l'axiome 2. Il faut réussir à faire preuve d'une certaine abstraction et ne plus penser en termes de nombres. Il faut évidemment avoir en tête la notion intuitive que l'on a des nombres, mais il faut aussi savoir s'en détacher. On cherche à construire formellement ces objets : il faut que cette construction soit en accord avec notre intuition (à part cela, on est libre de "fabriquer" ce que l'on veut). Le premier axiome décrète (c'est un axiome, il dit ce qu'il veut... et c'est "vrai") que zéro, noté $0$ (pour rester en accord avec nos nombres), est un nombre. Celui-ci, je pense que tu l'as saisi. Le deuxième axiome décrète que si on a à disposition un entier naturel, alors il admet un unique successeur. On se fiche de savoir qui il est, mais dès qu'on a un un entier naturel, on a directement un successeur (conforme à l'intuition mais décrété !).

Je ne sais pas si ça t'a aidé, mais dis moi ce que tu en as compris et si ça t'a aidé. On pourra voir la suite après.
avatar
Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Messages : 151
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Nombres entiers naturels

le Lun 8 Fév - 12:45
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bonjour Professeur,

je te remercie de ta réponse car effectivement en mettant en relief une mauvaise approche que j'avais de l'axiome (sorte de diktat indiscuté et indiscutable) tu m'as apporté une aide réelle, depuis j'ai cherché à mieux cerner ce qu'est un axiome et j'ai trouvé cette définition que je garde précieusement : "A la base de toute théorie mathématique on dispose d'un petit nombre d'assertions supposées vraies à-priori, ce sont les axiomes ou les postulats. Ils sont élaborés par abstraction à partir de l'intuition et ne sont pas déduits d'autres relations"

Il y a l'information et l'attitude et tu le soulignes avec justesse dans ton commentaire. Bien connaître c'est déjà entrevoir ce qui est à comprendre, et accepter de lâcher prise sur son mental c'est accepter d'entrer dans ce monde étrange et insécurisant de l'abstraction.

J'aime bien cette précision qui effectivement permet de mieux appréhender le contenu

La définition axiomatique des entiers naturels de Peano est usuellement décrite informellement par cinq axiomes :




Les mathématiques c'est tout un univers qu'il faut connaître, j'ai presqu'envie de dire toute une "culture" dont il faut s'imprégner avant d'appliquer bêtement des règles et ordonnances auxquelles souvent on ne comprends pas grand chose.

C'est bien on commence pas à pas comme tu dis, ça m'encourage et ça me donne envie de continuer parce que j'aime cette science et j'ai vraiment envie de la connaître de plus en plus...c'est bizarre pour un non matheux de nature comme moi, aussi ne me demande pas pourquoi je ne le sais même pas moi-même, mais ce qui est sûr c'est que j'y trouve une sorte de sérénité, le goût de l'harmonie sans doute.

On continue sur les entiers naturels ? bounce

Merci Wink
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1992
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Nombres entiers naturels

le Mar 9 Fév - 18:30
Salut,

Désolé, je suis un peu lent à répondre ces derniers temps, mais ça ira mieux d'ici quelques mois. As-tu avancé dans ta construction avec ces éléments supplémentaires ? Tes questions suivantes étaient liées à la première, donc j'imagine que tu ne te poses plus (exactement) les mêmes questions désormais.
avatar
Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Messages : 151
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Nombres entiers naturels

le Mer 10 Fév - 10:22
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut,
oui c'est vrai, j'ai beaucoup de questions sur divers sujets et je ne manquerai pas de les poser, je vais continuer à regarder et étudier comme je peux. J'ai pour ça de chez Vuibert "mathématiques cours et exercices, arithmétique" de Warusfeld et consorts, trouvé dans une bouquinerie, peut-être connais-tu, ça me paraît bien et j'essaie d'avancer avec ça, évidemment ça reste ardu mais avec la possibilité maintenant d'avoir de l'aide ici, peut-être que je vais avancer un peu, aussi je te remercie du temps que tu me donnes pour répondre à mes interrogations, c'est sympa.

La prochaine étape après "succession et parties stables de N" c'est "Les principes de récurrence", tu vois que j'en suis au tout début ! je lis, je cherche, je "bosse" à mon modeste niveau en espérant qu'il en sortira quelque chose qui me fera progresser. Tu sais que je serai toujours très heureux de recevoir conseils et directives de travail pour m'éviter des plans de travail inutile, tout seul c'est pas évident de garder le bon cap. En tout cas merci et félicitations pour ce site convivial qui reste à la portée de tous Smile
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum