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Diagonalisation

le Mer 6 Jan - 19:18
Bonjour,

J'avais une question concernant la diagonalisation. En effet lorsque l'on tombe sur une racine de multiplicité 2 il faut que la dimension de Ker(A-lambdaI)=2 pour que la matrice soit diagonalisable.

Mais dans le cas d'une matrice 3*3 il faut absolument que le rang soit égale à 1. Dim E= Dim ker+ dim Image.

Et mon problème c'est que je n'ai pas d'autre méthode que le pivot de gauss pour trouver le rang de la matrice.

Cordialement
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Re: Diagonalisation

le Mer 6 Jan - 20:56
Salut,
C'est un peu confus. Pour que $\lambda$ soit une racine de multiplicité deux il faut que $Ker(A-\lambda I)=2$.
Mais pourquoi pour une matrice $3\times3$ devrait avoir son rang égal à 1 ?
Sinon pour trouver le rang d'une matrice $3\times3$ c'est assez facile :
- Si le determinant est non nul : la matrice est de rang 3
- Si la matrice est nulle : la matrice est de rang 0 (c'est une évidence on ne sait jamais Very Happy )
- Si la matrice est de rang 1 : alors forcement tes trois colonnes sont proportionnelles deux à deux
- Si ta matrice ne rentre dans aucun de ces cas, alors elle est de rang 2

Ce sont de petites astuces bien pratique à savoir (tu peux également utiliser les sous déterminants qui marchent bien avec les matrices $3\times3$).


Dernière édition par Curry le Jeu 7 Jan - 17:30, édité 1 fois
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 0:15
Merci Smile

http://image.noelshack.com/fichiers/2016/01/1452122092-exam.png

Sinon j'ai un petit soucis pour la suite de l'exercice 2 j'arrive à faire les 2 premières questions mais je n'arrive pas à faire le reste

Cordialement
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 8:33
Tu as trouvé quoi comme matrice $D$ ? Tu as écrit la suite ?
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:19
Le truc c'est que j'ai du mal à trouver les valeurs propres quand nous avons une matric 3x3
En effet je ne vois pas comment résoudre une équation du 3ème degré Mad
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:31
Si tu as une équation de degré 3 tu as une racine évidente (sinon c'est beaucoup trop dur à résoudre).
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:33
A non c'est bon j'ai trouvé une technique

Je vous dis ce que j'ai trouvé pour D
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:48
J'aurai une nouvelle question maintenant,

J'aimerai savoir comment déterminer la dimension d'un sous espace propre associé à une valeur propre d'une matrice 3x3

Merci Smile
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:51
Théorème du rang en déterminant le rang de ma matrice associé à mon espace propre Smile
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 17:59
Tu as une matrice, tu as juste à déterminer la dimension du noyau $A - \lambda I$ où $\lambda$ est ta valeur propre.
Soit tu calcules directement la dimension du noyau soit tu calcules le rang et tu utilises le théorème du rang.
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 18:55
Bizarre je ne trouve pas de racine évidente avec ce polynôme caractéristique

$\lambda^{3}-2\lambda^{2}+17\lambda+2$
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:00
Es tu sur de ton calcul ?
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:09
Plus ou moins

J'ai calculé Trace de la matrice puis la somme des co matrice sur la diagonale et le déterminant puis j'ai sommé tout cela en alternant les signes +-
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:13
Quelle est ta matrice ?
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:16
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:34
Réputation du message : 100% (1 vote)
Le polynôme caractéristique est X^3−2X^2−X+2 (ou son opposé, mais ça ne change rien).
Tu peux vérifier tes calculs ici http://wims.unice.fr/wims/fr_tool~linear~matrix.fr.html
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 19:43
ok merci je vais pouvoir faire la suite Smile
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Re: Diagonalisation

le Jeu 7 Jan - 20:02
C'est pas mal ton site Curry Very Happy
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Re: Diagonalisation

le Ven 8 Jan - 8:07
Oui il est pratique pour des calculs de matrices Smile
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 14:43
Bonjour

Voilà j'ai un petit soucis quand j'obtiens une racine double à mon polynôme caractéristique
je dois vérifier que la dimension de A(qui est ma matrice de base)-$\lambda I$ soit égale à 2 ?

Mais je ne vois pas comment le prouver
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 14:46
Bonjour, il faut que tu écrives ta matrice $A-\lambda Id$ puis que tu résolves le système d'équations associé.
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 14:51
J'ai effectué pour mon $\lambda =1$

En effet mes valeurs propres sont 1 et 2 avec 1 racine double
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 15:01
Pardon il n'y a pas de racine double dans mon cas
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 15:59
J'ai trouver mon vecteur propre associé à $\lambda1 =2$ mais je n'arrive pas à trouver pour mes valeurs propres 1 et -1 Mad
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Re: Diagonalisation

le Sam 9 Jan - 16:04
C'est quoi ta matrice ?
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