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fonction injective, surjective, arithmétique

le Mer 30 Déc 2015 - 22:00
Bonsoir Smile

Je suis en train de bloquer sur 1 question d'un exo, dont l'énoncé est le suivant :

Soient k et l deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Soit f un fonction qui à tout couple d'entier (a,b) € [0,k-1] * [0,l-1] associe le reste de la division euclidienne de al+bk par kl.

J'aurais besoin d'aide pour montrer que f est surjective, car je ne sais pas comment m'y prendre Sad
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Re: fonction injective, surjective, arithmétique

le Jeu 31 Déc 2015 - 2:05
Salut, tu as essayé certaines choses (ce que tu fais habituellement pour montrer qu'une application est surjective), ou tu n'as vraiment pas d'idées pour commencer ?
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Re: fonction injective, surjective, arithmétique

le Jeu 31 Déc 2015 - 12:46
j'ai fais quelque chose ce matin avec un ami, mais je ne sais pas si c'est bon.

On pose r € [0,mn-1].
Comme m et n sont premiers entre eux, avec Bézout on a un+vm =1 avec u,v 2 entiers.
Donc on a urn+vrm=r.
Après on pose a le reste de la division euclidienne de ur par m, b celui de vr par n, donc a est dans [0,m-1] et b dans [0,n-1].

Donc on a ur=xm+a et vr=yn+b, avec x et y 2 entiers.
Donc an+bm = (ur-xm)n + (vr -yn)m = urn - xmn + vrm -ymn

En factorisant et avec Bézout, on a : an+bm = mn(-x-y) + r (1), donc r est le reste de la division euclidienne de an+bm par mn.
Donc il existe (a,b) € [0,m-1]*[0,n-1] tel que f(a,b) =r

Donc f est surjective.

Ce qui me gêne c'est que dans l'égalité (1), j'ai comme quotient -x-y, et comme an+bm >0, si -x-y<0, on risque d'avoir an+bm<0 ce qui est impossible
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