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Densité dans E des fonctions polynomiales

le Mar 18 Nov - 21:12
Bonjour,

Voici mon problème :

"Soit E l'espace des fonctions numériques continues sur I=[0,1] munie de la norme //f// = sup /f(t)/ (avec t appartient à I).

Prouver la densité dans E de l'espace des fonctions polynomiales."

J'ai bien pensé au théorème de Stone-WeierStrass, mais n'étant pas au programme, je ne dois pas l'utiliser ; qui plus est, je n'arrive pas à me le sortir de la tête. Si vous arrivez à me donner une piste, j'en serais ravi. Merci Very Happy

EDIT : je viens de me convaincre que étudier la distance entre P une fonction polynôme quelconque et une suite An et de montrer que cette distance est inférieure à une suite qui tend vers 0. Mais quelle suite An prendre, je me demande...
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Re: Densité dans E des fonctions polynomiales

le Mer 19 Nov - 9:38
Salut,
Hum, regarde par ici : https://www.ljll.math.upmc.fr/~privat/documents/polyCPP.pdf
A la page 51, mais c'est vrai qu'en fait c'est le théorème de Weierstrass...
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Re: Densité dans E des fonctions polynomiales

le Mer 19 Nov - 19:59
Effectivement, celui-ci utilise le théorème de Weierstrass, donc je ne peux l'utiliser.

Mais finalement "j'ai" trouvé en demandé un peu d'aide et en m'inspirant du document que vous m'avez donné et la solution saute presque aux yeux : en se servant de la définition de la convergence directement sur les polynômes de Bernstein, en utilisant des inégalités qui marchent bien, les suites nécessaires à l'application de la définition de la densité viennent tout seul.




Merci, sans le doc je n'y serais pas arrivé probablement Very Happy
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Re: Densité dans E des fonctions polynomiales

le Mer 19 Nov - 20:39
Cool si tu y es arrivé, je verrouille le topic Smile
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