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Aide concernant les racines multiples

le Lun 17 Nov - 17:02
Bonjour je suis actuellement en première année d'économie et gestion et j'ai besoin d'aide concernant la leçon sur les polynômes

je sais calculer les racines d'un polynômes ce n'est pas bien compliqué par contre je n'arrive pas à déterminer l'ordre des racines ( si c'est une racine multiple ou simple et surtout d'ordre combien ) par exemple :

P(x) = ( x²-1)^3 * (x-1)² * ( x² -4x +3 )²

Je sais par exemple que 1 est une racine de P , car P(1) = 0

J'aimerais que quelqu'un puisse m'expliquer comment on fait et s'il peut me montrer un exemple en détaillant bien s'il vous plaît merci
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Re: Aide concernant les racines multiples

le Lun 17 Nov - 17:30
Salut Bordelais,
Est-ce que tu connais la définition de la multiplicité d'une racine d'un polynôme ?
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Re: Aide concernant les racines multiples

le Lun 17 Nov - 20:38
Bordelais a écrit:je sais calculer les racines d'un polynômes ce n'est pas bien compliqué

Les racine d'un polynôme de degré supérieur a 5 ne sont pas en général toute "calculable" mais passons.

Déjà il faut savoir dans quel ensemble tu te place, R ou C ? Un polynôme de degré quelconque peut n'avoir qu'une seule racine, par exemple le polynôme P = (X-1)^3 = X^3-3X^2+3X-1, on dit alors que 1 est une racine de multiplicité 3.
En revanche il se peut très bien qu'il n'ai qu'une seule racine réelle, et 2 racine complexe. Par exemple : Q = X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-j^2) = (X-1)(X^2+X+1) avec j=e^2i(pi/3). On constate que si on se restreint au domaine des réels, P n'as qu'une seule racine, qui "compte" triple, tandis que Q qui a une seule racine aussi dans R en a 3 dans C, on dit que le polynôme X^2+X+1 est irréductible (ou premier) dans R. Comme cette racine réelle compte "simple", on dit que c'est une racine simple, tandis que la racine de P est triple (ou multiplicité, ou d'ordre 3).

Ainsi pour calculer l'ordre des racines d'un polynôme, il faut déjà l'exprimé sous sa forme irréductible (on parle de décomposition en facteur premier) c'est à dire de la forme P = Q1^(a1)*Q2^(a2)*…*Qn^(an) ou chaque polynôme Qi est un polynôme premier et les ai sont des entiers.

Maintenant, si pour i donné Qi est de la forme (X-ri)^(ai) où ri€R, il est clair que ri est une racine du polynôme, sa multiplicité est donc simplement l'entier ai. Si pour chaque i, Qi est un polynôme de degré 1, on dit que P est scindé sur R. Note que dans C les polynôme sont toujours scindé, si bien qu'ils admettent exactement n racines (pour un polynôme de degré n) a condition de compter "double", "triple", a1 fois, la racine ri.

Dans ton cas, tu as déjà une forme factorisé, mais tu peux faire mieux, tu remarque par exemple que X^2 - 1 = (X-1)(X+1) et que par conséquent, (X^2-1)^3 = (X-1)^5*(X+1)^3*(X^2-4x+3)^2. Ensuite il se trouve que le polynôme du degré 2 se décompose en deux racines distincts, 1 et 3, sur R car le discriminant est positif. Donc finalement P=(X-1)^6*(X+1)^3*(X-3).

Notons qu'ici les racine de ton polynôme sont même entières.
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Re: Aide concernant les racines multiples

le Mar 18 Nov - 14:24
Une racine a de P(x) est multiple si (x-a)^k divise P et elle est simple si (x-a)^k divise p et que (x-a)^k+1 ne divise pas P

Une racine simple est une racine d'ordre 1 , une racine multiple est une racine d'ordre supérieur ou égale à 2


Non mais la leçon je la connais , le problème c'est vraiment l'application je n'y arrive pas du tout et ça m'embête vraiment pourtant la divisibilité ne m'a posé aucun soucis ça c'est fait vite fait Sad


Mikihisa , je ne comprends pas trop ton post
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