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Intégrales curvilignes

le Sam 31 Oct 2015 - 18:54
Salut j'ai un petit problème

On me demande de calculer l'intégrale curviligne de w=ydx+2xdy sur un domaine qui me pose problème :

D= {(x-1)²+y²<1 et x²+(y-1)²<1} (inférieur ou égale hein)

Bon comme je sais pas faire la paramétrisation j'ai pensé à utiliser Green-Rienman où mon compact fermé serait une sorte de "rosace" enfin l'intersection de mes deux cercles

donc x varie de 0 à 1 mais j'arrive pas à trouver l'encadrement de y..

Merci :noel:
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Re: Intégrales curvilignes

le Dim 1 Nov 2015 - 13:39
help Sad
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 10:59
Salut,
J'ai de mauvais souvenir avec les intégrales curvilignes, je vais faire mon possible.
Tu veux intégrer sur D ? Il te faut une intégrale double alors. D est l'intersection des deux disques de rayon 1 et de centres (1,0) et (0,1).

Je trouve que le résultat est l'aire de D (il doit y avoir des erreurs).
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 15:57
Oui il faut intégrer sur D

On a donc une double intégrale , la première est pour x de 0 à 1 et justement la deuxième est pour y de ??? à ??? et oui c'est l'intersection de mes deux cercles mais je ne vois pas comment retranscrire cela pour mes bornes..

Merci :noel:
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 16:00
T'as fait un dessin comme la dernière fois ? ^^
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 16:03
Ouaip j'ai une intersection de 2 cercles , une sorte de "rosace" , du coup je vois pas ce que ça donne Very Happy
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 16:29
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Bon, je n'ai jamais fait ce genre de calculs (je ne connaissais même pas le théorème de Green). On va chercher ensemble Smile
Je vais utiliser le théorème de Green, je pose C la courbe définie par le bord de D (c'est bien $C^1$ par morceaux et tout ce qu'il faut). Alors faire l'intégrale de $y dx + 2xdy$ sur C revient à faire l'intégrale sur D de $2 - 1 = 1$. D'où ton intégrale est l'aire de D.

Maintenant comment paramétrer C ? C est symétrique par rapport à l'axe $x=y$. Je vais paramétrer la partie au dessus de l'axe $x=y$.
C'est un arc du cercle de centre $(1,0)$. Pour $x \in [0,1]$, $y = \sqrt{2x -x^2}$ ($y$ est positif donc il faut prendre la racine positive).

Maintenant ça c'est l'arc du cercle de centre $(1,0)$ qui correspond au premier quart. Et c'est exactement ce qu'on veut (les deux cercles se coupent en $(0,0)$ et $(1,1)$).

Tu as donc ton premier paramétrage $$ \gamma : t \mapsto  \sqrt{2t -t^2}$$
Pour le second ça doit être relativement pareil, je te laisse chercher. Je surveillerai ce fil voir si j'ai bon et si tu t'en sors.

Si quelqu'un a une (meilleure) solution je suis preneur.

Edit : je ne suis vraiment pas sur de mon utilisation du théorème de Green ... Mais pour la paramétrisation c'est ok
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Re: Intégrales curvilignes

le Lun 2 Nov 2015 - 22:15
ça c'est de l'aide !!!

Merci beaucoup ! Very Happy

Oui le théorème de Green, c'est bien sympa quand on connait pas la paramétrisation d'un chemin fermé car cela revient à calculer une double intégrale du rotationnel du vecteur concerné (bon dis comme ça, ça peut sembler abscons mais ça simplifie généralement les calculs :noel:)

En tout cas merci , normalement le reste est plutôt une fois ça de compris Very Happy

Bonne soirée Smile
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Re: Intégrales curvilignes

le Mar 3 Nov 2015 - 22:17
En fait il y avait beaucoup plus simple (on l'a fait en td tout à l'heure)

On découpe l'intégrale en deux parties (chemins) , l'une sur le cercle de centre (1,0) donc de paramétrisation 'triviale' et l'autre sur le cercle de centre (0,1) et idem

je sais pas si c'était clair mais en fait c'était super simple , j'aurais du plus me fier au schéma comme le suggérait prof J :p
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Re: Intégrales curvilignes

le Mer 4 Nov 2015 - 9:36
Par paramétrisation triviale tu entends que tu passes aux coordonnées polaires ?
J'ai paramétrisé de la même façon les arcs de cercles, mais en moins facile : j'ai utilisé les coordonnées cartésiennes et non les polaires (je déteste les coordonnées polaires !!)
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Re: Intégrales curvilignes

le Mer 4 Nov 2015 - 11:24
Exact avec les coordonnées polaires !

Par exemple pour le cercle de centre (0,1) on la paramétrisation suivante :

c(t):[3pi/2,2pi]-->D
t--> x(t)=cost(t)
y(t)=1+sin(t)

En tout cas merci pour l'aide Curry et prof J Smile
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