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exercice de diagonalisation de matrice

le Lun 19 Oct - 21:33
Réputation du message : 100% (1 vote)
bonjour j'ai un exercice que je n arrive pas a resoudre sur les matrices

soit A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1-a \\ -1 & 1 & a-1 \\ a-1 & 0 & 2a \end{pmatrix}

a- montrer que 1 est une valeur propre de A
b- montrer que A est diagonalisable sur R ssi a=1

a-
on a le polynome caracteristique de A noté P(x)=det (A-λI)

pour montrer que 1 est une valeur propre de de A je dois montrer que P(1)=0

donc on note P(1)=det(A-1I)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -a \\ -2 & 0 & a-2 \\ a-2 & -1 & 2a-1 \end{pmatrix} = -1* \begin{pmatrix} -2 & a-2 \\ a-2 & 2a-1 \end{pmatrix} -1* \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -2 & a-2 \end{pmatrix} = 1*[-2(2a-1)-(a-2)(a-2)] 1*[(a-2)-(-2)(-a)] = 1*[-4a+2-a²+4a-4] 1*[a-2-2a]= -a²-a-4

Δ = (-1)²-4*(-1)*(-4) = -15

probleme de calcul ou mauvaise demarche ?

b- je remplace a par 1 dans la matrice A \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

ici j'utilise la meme methode je calcul P(x)=0 <=> det (A-λI) = 0

soit la matrice A-λI = \begin{pmatrix} 2-λ & 0 & 0 \\ -1 & 1-λ & 0 \\ 0 & 0 & 2-λ \end{pmatrix}

(2-λ)(1-λ)(2-λ)=0 (1-λ)(2-λ)²=0
λ=1 et λ²-4λ+4 Δ=0 λ=2

valeurs propre (1,2)
on peut ecrire D tel que D=­P-­­­­¹A.P
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Pour λ=1
je résous le systeme d'equation en utilisant le pivot de gauss
x=0
-x=0
z=0

on a donc un premier sous espace de la forme
composante suivant x \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
composante suivant z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
les vecteurs sont libre, sous espace E1 de dimension 2

pour λ=2
0=0
-x-y=0
0=0

<=> y=-x

vecteur est libre, sous espace E2 dimension 1\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

donc la matrice de passage P s'écrit \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

dim(E1)+dim(E2)=3 donc la matrice A est diagonalisable ssi A=1

Es-ce correct ?
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Re: exercice de diagonalisation de matrice

le Lun 19 Oct - 21:52
Salut Smile Est-ce que tu as déjà entendu parler de la règle de Sarrus pour le calcul du déterminant des matrices $3\times 3$ ?
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Re: exercice de diagonalisation de matrice

le Lun 19 Oct - 22:13
oui mais c'est plus long à écrire avec Sarrus
det(A-1I) = 1*0*(2a-1)+(-1)*(a-2)*(a-2)+(-a)*(-2)*(-1)-(a-2)*0*(-a)-(-1)*(a-2)*1-(2a-1)*(-2)*(-1)

=-(a-2)²-2a+(a-2)-(4a-2)
=-(a²-4a+4)-2a+a-2-4a+2
=-a²-a+4

a1=(1-√17)/2
a2=(1+√17)/2

Δ=(-1)²-4*1*4=1+16=17

toujours pas bon j'ai l'impression
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Re: exercice de diagonalisation de matrice

le Lun 19 Oct - 22:16
Ce que je te conseille, c'est d'écrire ton polynôme caractéristique $det(A-\lambda Id)$ de façon générale, puis de remplacer $\lambda$ par $1$, et ça va très vite avec Sarrus ; ça donne $(2-\lambda)(1-\lambda)(2a-\lambda)-(a-1)(1-\lambda)(1-a)$ (je te laisse vérifier).
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Re: exercice de diagonalisation de matrice

le Lun 19 Oct - 22:36
ah oui avec les 0 ça s'annule ça va plus vite en effet

donc j'ai (2−λ)(1−λ)(2a−λ)−(a−1)(1−λ)(1−a)=0 je dois maintenant remplacer lambda par 1

ce qui me donne 1*0*(2a-1)-(a-1)*0*(1-a)=0
0=0

alors P(1)=det(A-1I)=0

donc 1 est bien une valeur propre de A.

La question b est correct ou non car j'ai des doutes sur mes resultats
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