Accueil du forum
Bienvenue sur le forum de Maths en Direct !

Pour discuter en direct avec les professeurs ou le reste de la communauté, il suffit de s'inscrire. Vous aurez ensuite accès à tous les services de Maths en Direct gratuitement ! N'hésitez pas à proposer votre aide.

Connexion
Statistiques
Nous avons 929 membres enregistrésL'utilisateur enregistré le plus récent est Chelsau DeliaNos membres ont posté un total de 6411 messagesdans 694 sujets
Qui est en ligne ?
Il y a en tout 3 utilisateurs en ligne :: 1 Enregistré, 0 Invisible et 2 Invités :: 1 Moteur de recherche

Professeur T

Voir toute la liste

Aimez notre page Facebook !
Les posteurs les plus actifs du mois
31 Messages - 48%
17 Messages - 26%
12 Messages - 18%
4 Messages - 6%
1 Message - 2%
Les posteurs les plus actifs de la semaine
12 Messages - 60%
8 Messages - 40%
Partagez
Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 17:01
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les suites mais je bloque sur quelques questions alors si vous pouviez m'aider ça serait vraiment sympa.

Alors tout d'abord, je dois :

-Démontrer que pour tout entier naturel n : Un$\leq$n+(3/2) sachant que (Un) est définie par U0= (3/2) et que U$_{indice}n+1$ = (1/3)Un+(2/3)n+1

-Démontrer que pour tout entier n : U$_{indice} n+1$-Un = 2/3(n+3-Un)

Merci d'avance !
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 17
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 17:34
Bonsoir,

sais-tu raisonner par récurrence ?
C'est ce que tu dois faire pour la première démonstration. Smile
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 18:29
Bonsoir ! Smile

Oui j'ai vu ça en cours.

Ici cela donnerait :

Initialisation : Pour n=0, on a U0= 0+(3/2) donc P est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons P est vraie au rang k+1
Uk$\leq$n+(3/2)

Uk+1$\leq$n+1 +(3/2)

(1/3)Un+(2/3)n+ 1$\leq$n+1 +(3/2)

Après je suis bloqué Neutral
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 17
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 18:38
Attention à ta rédaction Smile

Soit Pn la propriété Un≤n+(3/2)

Initialisation : Test de P0. Ici, il est effectivement vrai.

Hérédité : Supposons Pk vrai, donc on a Uk≤k+(3/2) pour un certain k entier naturel.
Qu'en est-il de Pk+1 ?

Ensuite, avec l'hypothèse de départ, autrement dit :
Uk ≤  k + $\frac{3}{2}$

Il faut arriver à :
Uk+1 ≤ k+1 + $\frac{3}{2}$

Je te donne un indice : quels opérations faut-il faire à Un pour arriver à Un+1 ?

Sinon effectivement tu peux aussi partir de ce que tu dois conclure pour arriver à l'hypothèse de départ.
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 19:06
Ah oui effectivement un coup je mets k, un coup n, il faut que je fasse attention ^^

D'accord je vois ! Ca donne :

Uk ≤  k + (3/2)
(1/3)Uk ≤ (1/3)k + (3/6)
(1/3)Uk + (2/3)k ≤ k + (3/6)
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (9/6)
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (3/2)

Donc Pn est vraie au rang k+1 et Un ≤ n + (3/2)
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 17
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 19:11
Le raisonnement au bon au début, mais je ne comprends pas la dernière ligne :

Uk+1 ≤ Uk
En plus, ce n'est même pas ce qu'il faut démontrer Wink

Donc je reprends l'avant-dernière ligne :
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (3/2)
Donc Uk+1 ≤ k + $\frac{3}{2}$

C'est qu'il faut prouver, c'est qu'on doit avoir :
Uk+1 ≤ k + 1 + $\frac{3}{2}$.

Or, si Uk+1 ≤ k + $\frac{3}{2}$, qu'est ce que tu peux conclure ?
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 19:17
Uk+1 ≤ k + (3/2). Or Uk+1 $\geq$ Uk et donc Uk ≤ k + (3/2) $\equiv$ Un ≤ n + (3/2)

On a démontré ce qu'il fallait Very Happy
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 17
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 19:30
Réputation du message : 100% (1 vote)
Pourquoi Uk+1 ≥ Uk ?

Regarde bien, on a démontré que :
Uk+1 ≤ k + (3/2)

Or, il faut démontrer que :
Uk+1 ≤ k + 1 + (3/2)

On a bien k + 1 + (3/2) > k + (3/2)

Donc Uk+1 ≤ k + (3/2) implique Uk+1 ≤ k + 1 + (3/2)

Donc la propriété Pn est héréditaire et fonctionne au rang 0, donc Pn est vraie pour tout n Wink
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 20:12
D'accord je vois ! Smile Merci en tout cas Wink

Maintenant, démontrons que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n+3-Un) :

Comme on a pas d'expression de Un, et qu'on sait seulement que Un ≤ k + (3/2) j'imagine que je dois développer Un+1-Un

Un+1-Un = (2/3)n + (2/3)*3 - (2/3)Un = -(2/3)Un + (2/3)n + 2 et ensuite je ne vois pas trop quoi faire scratch
avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 73
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Dim 20 Sep - 20:54
Réputation du message : 100% (2 votes)
Développe aussi le $2/3(n+3-U(n))$. Smile (J'ai fait un rapide calcul mental, je crois que tu dois tomber sur le même résultat. ^^ )
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 13:22
Oui c'est ce que j'ai fais mais comme je l'ai dis je suis bloqué içi : -(2/3)Un + (2/3)n + 2 Smile
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 20:09
Tu es sûr que tu as bien recopié l'énoncé ? Laughing
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 20:36
Oui j'ai vérifié et c'est bien ça Smile
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 20:40
Les parenthèses et tout c'est ok ? scratch
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 21:54
Oui, il faut :

Démontrer que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3 - Un)
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 21:58
Et bien ce n'est pas vrai !
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 22:06
C'est à dire ? scratch
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Lun 21 Sep - 22:25
J'ai :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{2}{3}n+1-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{2}{3}n+1$$

qui est clairement différent de :

$$\frac{2}{3}(n+3-u_n)=\frac{2}{3}n+2-\frac{2}{3}u_n$$
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 12:38
Réputation du message : 100% (1 vote)
Ah oui il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, tu as raison Wink
Je vais voir avec mon prof.
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 16:15
Ok tiens nous au courant Smile
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 18:05
Réputation du message : 100% (1 vote)
Ok donc rectification, il faut :

Démontrer que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un)

Et ça marche tout de suite mieux, j'ai réussi ^^

avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 18:08
Je m'en doutais, super Smile
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 20:09
Et sinon, juste avant j'ai émis l'hypothèse que (Un) était croissante au vue des premières valeurs, et maintenant que j'ai démontré que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un), il faut que j'en déduise que ma conjecture est bonne, donc que (Un) est bien croissante.

Pour cela, je me disais qu'on pourrait peut-être utiliser la limite de 2/3(n + 3/2 - Un).

Soit $\lim_{x\to +\infty} 2/3(n + 3/2 - Un)$ = $\lim_{x\to +\infty} 2/3$ multiplié par $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2 - Un)$

Or : $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2)$= +$\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}Un$= +$\infty$ car Un est croissante et $\le$ à n+3/2. D'où $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2 - Un)$= +$\infty$

Donc, par produit $\lim_{x\to +\infty} 2/3(n + 3/2 - Un)$ = +$\infty$ et (Un) croissante. Smile


Dernière édition par Sinusx le Mar 22 Sep - 20:15, édité 1 fois
avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Messages : 1969
Voir le profil de l'utilisateurhttp://www.mathsendirect.fr

Re: Exercice sur les suites

le Mar 22 Sep - 20:14
N'oublie pas que si tu dois montrer que $(u_n)$ est croissante tu dois regarder si $u_{n+1}-u_n$ est positif Smile
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Messages : 44
Voir le profil de l'utilisateur

Re: Exercice sur les suites

le Mer 23 Sep - 16:11
Ah oui, donc il faut prouver que Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un) est > 0.

Mais je vois pas comment...

Je vois seulement qu'on a un produit et que :

2/3 > 0

(n + 3/2 - Un) = (n+ 3/2) - Un. Or (n+ 3/2) > 0 car n E N et -Un $\geq$ -n - 3/2
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum