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min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 15:21
Bonjour, je bloque sur le calcul d'une somme définie par :
\[Sn= \sum_{k=0}^{2n}\min(n,k)\]
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 15:28
Salut, pour te rendre compte de ce qu'il se passe, est-ce que tu as essayé de calculer les sommes pour quelques $n$ fixés ?
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 15:38
C'est à dire ça ?, \[\sum_{k=0}^{2n}n\]
La réponse est \[n(2n+1)\] non ?
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 15:43
Non, par exemple :

Si $n=0$, alors $Sn=\sum_{k=0}^{0}\min(0,k)+0$.

Si $n=1$, alors $Sn=\sum_{k=0}^{2}\min(1,k)=min(1,0)+min(1,1)+min(1,2)=0+1+1=2$.

Je te conseille d'en faire plusieurs pour comprendre.
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 16:06
Ah oui je comprends ça mais pour tout n je n'y arrive pas donc 2n c'est pas très simple.
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 16:11
Tu as continué ou pas ? En essayant sur d'autres $n$ tu vas pouvoir remarquer qu'il y a une "forme générale" !
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 16:24
\[Sn=\sum_{k=0}^{3}\min(2,k)+0 = 5\]
\[Sn=\sum_{k=0}^{4}\min(3,k)+0 = 9\]
comme cela ?
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 16:25
Sinon, je peux te donner un autre indice, mais ça serait bien que tu fasses comme je t'ai dit. Tu as :

$\sum\limits_{k=0}^{2n}min(n,k)=\sum\limits_{k=0}^{n}min(n,k)+\sum\limits_{k=n+1}^{2n}min(n,k)=\sum\limits_{k=0}^{n}k+\sum\limits_{k=n+1}^{2n}n=...$
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 16:37
\[\sum_{k=0}^{n}k\ = n(n+1) \]
\[\sum_{k=n+1}^{2n}n\ = n^2 \]
ainsi :
\[n(n+1)+n^2 = 2n^2+n\]

et donc

\[Sn = 2n^2+n \]
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 20:51
ça me parait trop "simple" comme résultat
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 21:00
Oui tes deux résultats pour les deux sommes données sont faux en fait Neutral
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 22:14
bah je ne vois pas comment je pourrai faire autrement Crying or Very sad
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Re: min(n,k) d'une somme

le Dim 20 Sep - 23:29
Explique moi comment tu as calculé les deux sommes que je t'ai données... je te dirai ce qu'il ne va pas !
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Re: min(n,k) d'une somme

le Lun 21 Sep - 0:01
bah pour la première est une valeur connue, à moins que j'ai oublié de la divisée par deux.
La deuxième je l'ai déduite
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Re: min(n,k) d'une somme

le Lun 21 Sep - 8:40
La première oui, tu as oublié de diviser par 2 Laughing

Pour la deuxième, en fait on fait juste $n+n+n+\cdots+n$, il faut juste que tu trouves combien de fois on ajouter $n$.
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