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Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)

le Dim 23 Aoû - 15:11
Réputation du message : 100% (1 vote)
Petit exercice pour ceux qui veulent faire un peu de maths avant la rentrée :

Pouvez que 21/n (c'est à dire la racine n-ième de 2) est irrationnel pour tout n > 2.

Indice : vous pouvez utiliser une bombe atomique pour tuer cette mouche.

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Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)

le Dim 23 Aoû - 15:40
Merci de proposer vos réponses sous forme de spoiler Very Happy
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Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)

le Dim 30 Aoû - 13:20
Bon eh bien, je propose une réponse sous forme de spoiler (en m'autorisant bien sûr d'utiliser la bombe atomique Very Happy) :

Spoiler:

Raisonnons par l'absurde en supposant que \(2^{\frac{1}{n}}\) soit rationnel. Alors on peut écrire :
$$2^{\frac{1}{n}}=\frac{p}{q},$$
où \(\frac{p}{q}\) est une fraction irréductible. On a alors :
$$2=\frac{p^n}{q^n}$$
Donc :
$$p^n=2q^n=q^n+q^n,$$
ce qui est absurde d'après le grand théorème de Fermat !
Donc, \(2^{\frac{1}{n}}\) est irrationnel (pour tout \(n>2\) ).
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Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)

le Sam 5 Sep - 22:38
Réputation du message : 100% (1 vote)
Pas sûr mais bon :

Spoiler:
On suppose par l'absurde que ta racine nième est rationnelle , on dispose donc de p et q premiers entre eux tq (2)^1/n =p/q c'est à dire 2=(p/q)^n et donc p^n=2q^n , pas possible car p et q sont premiers entre eux donc q^n et p^n le sont aussi d'où la contradiction...
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