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Les séries de Riemann

le Jeu 6 Aoû - 17:54
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bonjour à tous,

Je suis en classe préparatoire et j'ai un DM d'entrainement sur lequel j'ai du mal et je souhaiterai vos lumières si possible Smile

Dans l'introduction, on définit ce que l'on nomme la suite des sommes partielles de Riemann soit : somme des k allant de 1 à n de 1/k^a et l'on nous dit que l'on va chercher à prouver que la somme converge ssi a > 1.

La première partie du devoir se fait avec a =< 0 et l'on nous demande de montrer que si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0 et donc d'en déduire par l'absurde que si a <= 0 alors la suite des sommes partielles (Sn) diverge vers +infini.


J'ai donc besoin d'aide sur la façon de mettre en forme la preuve de ceci et voir si cela est juste :



Est-il juste de poser :

Supposons la suite (Un) tendant vers L
=> (Un+1) tend vers L
=> (Un+1 - Un) <=> L - L = 0
=> Si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0


Puis pour le raisonnement par l'absurde (là je galère) :

On a donc prouvé que si la suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0 et l'on doit utiliser ce résultat.


En fait il faut réussir à montrer que (Un) est divergente et que donc (Un+1 - Un) ne converge pas vers 0 car la convergence de (Un) est nécessaire ? Si oui comment faire ? que (1/n^a) ne converge pas vers 0 donc que la série est divergente ?


Merci d'avance pour vos aiguillages !
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Re: Les séries de Riemann

le Ven 7 Aoû - 10:43
Salut CaraD et bienvenue Smile
Est-ce que tu pourrais poser ton énoncé exact s'il-te-plaît ? Merci !
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Re: Les séries de Riemann

le Ven 7 Aoû - 11:22
Bonjour Smile le voici :

Nous voulons démontrer certains résultats de la fonction zéta de Riemann, définie sur C par la somme des k allant de 1 à + l'infini des 1/(k^z)

Nous montrerons que si z = a est réel cette somme converge ssi a > 1 et nous détermineront un équivalent. Le cas a = 1 donne une somme que l'on nomme série harmonique qui diverge. Le réel a étant fixé, on pose, pour tout entier n non nul Sn = somme des k allant de 1 à n des 1/(k^a)
La suite (Sn) est appelée suite des sommes partielles de Riemann


Première partie : quand a est inférieur ou égal à 0

- Montrer que si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0
- En déduire, en raisonnant par l'absurde, que si a est inférieur ou égal à 0 alors la suite des sommes partielles (Sn) diverge vers + l'infini







Concernant ce que j'ai essayé de faire :

Pour la première question :

Supposons la suite (Un) tendant vers L
=> (Un+1) tend vers L
=> lim(Un+1 - Un) <=> L - L = 0
=> Si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0

Pour la seconde question :

On a montré que si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0

Par l'absurde, montrons que si a est inférieur ou égal à 0 alors la suite des sommes partielles (Sn) converge
Cela implique que Sn+1 - Sn doit converger vers 0
Or, quand a est inférieur ou égal à 0, la suite (1/na) ne converge pas vers 0 parce que Sn+1-Sn = (1/(n+1)a
On en déduit que pour a inférieure ou égal à 0, la suite des sommes partielles (Sn) diverge vers + l'infini



Merci Smile
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Re: Les séries de Riemann

le Ven 7 Aoû - 11:29
@CaraD a écrit:Bonjour Smile le voici :

Nous voulons démontrer certains résultats de la fonction zéta de Riemann, définie sur C par la somme des k allant de 1 à + l'infini des 1/(k^z)

Nous montrerons que si z = a est réel cette somme converge ssi a > 1 et nous détermineront un équivalent. Le cas a = 1 donne une somme que l'on nomme série harmonique qui diverge. Le réel a étant fixé, on pose, pour tout entier n non nul Sn = somme des k allant de 1 à n des 1/(k^a)
La suite (Sn) est appelée suite des sommes partielles de Riemann


Première partie : quand a est inférieur ou égal à 0

- Montrer que si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0
- En déduire, en raisonnant par l'absurde, que si a est inférieur ou égal à 0 alors la suite des sommes partielles (Sn) diverge vers + l'infini







Concernant ce que j'ai essayé de faire :

Pour la première question :

Supposons la suite (Un) tendant vers L
=> (Un+1) tend vers L
=> lim(Un+1 - Un) <=> L - L = 0
=> Si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0

Pour la seconde question :

On a montré que si une suite (Un) converge alors la suite (Un+1 - Un) converge vers 0

Par l'absurde, montrons que si a est inférieur ou égal à 0 alors la suite des sommes partielles (Sn) converge
Cela implique que Sn+1 - Sn doit converger vers 0
Or, quand a est inférieur ou égal à  0, la suite (1/n^a) ne converge pas vers 0 parce que Sn+1-Sn = (1/(n+1)^a
On en déduit que pour a inférieure ou égal à 0, la suite des sommes partielles (Sn) diverge vers + l'infini



Merci Smile
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Re: Les séries de Riemann

le Ven 7 Aoû - 12:11
Quand tu dis "par l'absurde", il faut plutôt que tu dises, "supposons par l'absurde que la suite des sommes partielles converge"...
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Re: Les séries de Riemann

le Ven 7 Aoû - 12:31
D'accord Smile

Pour le contenu ça semble juste ?
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